本文内容来自于学习麻省理工学院公开课：单变量微积分-泰勒级数-网易公开课

Bullseye：第一单元 用python学习微积分（一） 安装开发环境Anaconda 和 导数（上）- 1/x的导数

质心问题Center of Mass - Sciencetopia

重心问题Center of Gravity Definition, Equation and Calculation

Bullseye：第一单元 用python学习微积分（二）VSCode 、PYGame 和 导数（上）- 瞬时速度

目录

一、重心和质心

1、质心

（1）一个物体

（2）系统质心：

2、重心

（1）单一物体

（2）系统重心：

3、不同形状的重心位置

二、重心问题

1、实验

2、用级数的想法来考虑这个问题,老师的思想实验

（1）设置

（2）计算

（3）计算跨越26个单位长度距离需要多少木块堆积？

（4）老师要求注意，尽管这个级数是没有极限的，但是这个级数的增长十分的缓慢。

三、幂级数

1、几何级数 （Geomeric Series）

（1）证明

2、幂级数的一般形式

（1）公式

（2）如何判断

3、收敛幂级数的法则（和多项式类似）

4、泰勒公式（Taylor's Formula）

5、泰勒公式的应用（ 求取 e ）

6、求取sin(x)

7、求取cos(x)

一、重心和质心

1、质心

（1）一个物体

刚体由大量粒子组成，刚体的质量是单个粒子质量的总和。但是，我们可以考虑物体上的一个点，使得物体的全部质量都集中在它上面，并且当施加相同的力时，该点的运动与与物体质量相同的粒子的运动相同.这个点称为质心。因此，物体的质心是施加的力产生线性加速度但没有旋转的点。

单个物体上的受力是由其上面每个粒子所受力的总和

​

 

设置：如图总质量为M；质心为C.M.； 'm1, m2 ...' 为物体上某点的质量

质心公式（center of mass [x, y]）=

（2）系统质心：

​

 

设置： 两个质量为m1和m2的物体，如图所示。让质量通过刚性杆连接，并让C是它们的质心。

有公式：

2、重心

重心是物体的重量作用并且物体上的总重力扭矩为零的点，简写C.G.

（1）单一物体

​

 

设置：物体上某粒子的重力 ， 是这个粒子从纸板的 CG 的位置向量， 是这个粒子上重力的扭矩

我们知道在CG点总重力扭矩是 0，所以有

由于 g 是常数，

（2）系统重心：

设置：两个宽2m的铁块 a, b，分别重20kg，40kg，并分别放置在木板两侧A、B，木板长20m。

​

 

a 的重心距离 A 点1m，而 b 的重心距离A点19m

​

 

以左侧A点为基准

系统重心 = 总重力扭矩 总的力臂 = （A的力臂 A点受力 + B的力臂 B点受力） （A点受力 + B点力臂）

总重力扭矩=

系统重心距离左侧=

3、不同形状的重心位置

体型	CG位置
细均匀条	条的中点
圆环	环的中心
圆盘	磁盘中心
球体、空心球体、环形盘	在它的中心
立方体或矩形块	对角线的交点
三角板	中线的交点
方形层、平行四边形和矩形层	对角线的交点
圆柱	轴的中点
圆锥或金字塔	在与底面中心顶点相接的线上，距底面的距离等于该线长度的1/4

二、重心问题

​

 

如图，有多个积木搭在一起，由下向上，每块都向左偏移一定的距离，问最上面那一块的右测可不可以偏移到最下面的积木的左测以左。

1、实验

老师用几块积木做了这个实验，并且成功了。这里的秘密就是要从上向下布置。

其原理是，由于只要在积木的重心处有支撑，积木就可以立住。

第一块积木的重心在他的中心位置，所以第二块积木要放在第一块的一半处（积木都是等大小的，所以我们只需要考虑水平方向的位置，xCenter1）。第一块和第二块积木形成了新的系统，这个系统的重心在原第一块和第二块重心的平均的位置（ ）, 以此类推当有n个积木以此方法布置时，它们组成的系统的重心为( )

模拟程序：

​

pygame基础上制作的模拟程序

链接：百度网盘 请输入提取码

提取码：1g1u

解压7z，并在解压目录中运行 AddRectangles.py。 程序中点击键盘回车可以添加一个积木。

2、用级数的想法来考虑这个问题,老师的思想实验

（1）设置：积木长 L = 2，重力 W = 1 ，位置因素只考虑x方向变化，使用贪婪算法，从上向下布置，第n+1块积木所在的位置是：第n块积木的重心和第n+1块积木重心的平均数，也就是   和 的平均数。由于每块积木的重量相等，则第n块积木累积了n的重量，而n+1块积木有重量 1，它们的平均值是

​

 

（2）计算

考虑重心中系统重心的公式

以原点计，

系统重心 = 总重力扭矩  总的力臂 = （A的力臂  A点受力 + B的力臂  B点受力）  （A点受力 + B点力臂）

也就是第n+1块积木的左侧是在前n块积木的重心 （W=1，重力为 n ） 下方，也就是说第n+1块积木的重心在 （ 重力为 1 ）

再把重量考虑进去，则这个新的重心在

程序：

import numpy as np 
from sympy import *
import matplotlib.pyplot as plt 

def GetCenter(steps, weight, length):
    Cn = 0
    for i in range(steps):
        n = i
        Cn = (Cn*weight*n + (Cn + length/2.0)*weight)/(n+1)
        print(Cn)
        
W = 1
L = 2
GetCenter(100,weight=W,length =L)

1.0
1.5
1.8333333333333333
2.083333333333333
2.2833333333333328
...
5.177377517639616
5.187377517639615

按公式展开：

....

由上一章得知：

Bullseye：第五单元 用python学习微积分（三十三）反常积分（下）-- 无穷级数和收敛判定

黎曼上和（ ）

显然这个 （ 发散的 ）

（3）计算跨越26个单位长度距离需要多少木块堆积？

由上一章的知识可知，   近似并小于 （ ）,

这里要注意，每个木块被定义为2个单位距离，所以当我们需要跨越26个单位距离时，

首先要减掉最下面那块的2个单位距离，然后就是其余的积木的重心到目标位置的距离即24个单位距离，也就是 ， 由于 ，也就是让第24个单位距离处为这n块积木的重心，求 n+1（显然 n 是整数）。

x = symbols('x')
eq = ln(x)-24
eq1 = Eq(eq,0)
solveX = solve(eq1)
print(int(solveX[0]))
26489122129

假设木块高3cm，这些木块摞起来有多高呢 ？ ，大约等于地球到月亮的距离的2倍

（4）老师要求注意，尽管这个级数是没有极限的，但是这个级数的增长十分的缓慢。

三、幂级数

1、几何级数 （Geomeric Series）

当 |x| < 1

（1）证明

假设有

由于

这个证明要求S首先要存在，也就是这个幂级数要是收敛的，不能是发散的。

当 时，等式 会变成,造成结果无意义。

2、幂级数的一般形式

（1）公式

(收敛半径 radius of converges)

（级数收敛点集区间）

当 R" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%7Cx%7C%3ER" /> ， 是发散的

当 , 是边界，并不会被使用

（2）如何判断

以指数速度趋向0 ，当

不会趋向0 ，当R" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%7Cx%7C%3ER" />

3、收敛幂级数的法则（和多项式类似）

这些运算对幂级数来说都是成立的

（1）运算举例

4、泰勒公式（Taylor's Formula）

注意：使用泰勒公式时，当 n=0 时， 约定俗成 0! = 1

泰勒公式的本质是近似，当 f(x)在 处有n阶导数，则有这个函数可以用幂函数近似替代，有公式

当这个函数在 x=0 处有n阶导数，泰勒公式变换为更常用的麦克劳林公式

当这个展开式n值越大，近似度就越高

通常在幂级数中，

证明：

x 取 0，

5、泰勒公式的应用（ 求取 e ）

我们知道，当 ,

所以我们可以把它带入泰勒公式，有

而

6、求取sin(x)

我们知道，当

7、求取cos(x)