标题：具有 Trinion 分数阶连续正交矩的立体图像描述
作者：Chunpeng Wang，Bin Ma，Zhiqiu Xia，Jian Li，Qi Li，Yun-Qing Shi
发布年份：2022
摘要：
近两年在分数阶连续正交矩（FrCOMs）方面取得了一些研究进展。与整数阶连续正交矩（InCOMs）相比，FrCOMs增加了仿射不变量的数量，有效地提高了数值稳定性。然而，现有的 FrCOM 类型仍然非常有限，它们都是面向平面图像的。目前还没有关于立体图像的报告。为此，本文首先推导了各种InCOMs对应的FrCOMs，然后结合trion理论构建了适用于立体图像的trinion FrCOMs（TFrCOMs）。此外，对TFrCOMs的重建性能和几何不变性进行了理论和实验分析。最后，研究了立体图像零水印算法中的应用，以验证 TFrCOMs 的优越性能。
1.引言矩的概念最早出现在统计学和经典力学领域。 1962年，胡提出胡不变矩[1]，并第一次将其引入到图像处理。作为图像描述的不变特征，图像矩[2]-[9]广泛应用于图像处理的许多领域，如图像识别[10]-[13]、图像检索[14]、图像评估[7] 、[15]、图像水印[5]、[16]、[17]和图像加密[18]-[22]。自从 Hu 不变矩的概念被引入以来，几何矩 [1]、复矩 [23] 和旋转矩 [24] 相继被应用为图像的不变特征。然而，这些矩是非正交矩，存在信息冗余和对噪声敏感等问题，因此很难重建原始图像。
为了解决重构困难的问题，研究人员提出了基于正交函数理论的正交矩。与非正交矩相比，正交矩可以解决信息冗余和对噪声敏感等问题，并且可以用较少的矩值重建原始图像。正交矩由离散正交矩（DOM）和连续正交矩（COM）组成。 DOM使用离散函数作为基函数，图像函数和基函数在离散空间内进行内积。涉及的主要矩包括 Tchebichef 矩 [2]、[8]、[25]、Krawtchouk 矩 [26]、Racah 矩 [27]、Hahn 矩 [28] 和双 Hahn 矩 [29]。由于 DOM 本身不是多失真不变量，因此在构造几何不变量时必须将其表示为几何矩的线性组合，这非常复杂。相比之下，COM 本身具有旋转、缩放和平移不变性，并且可以捕获图像的全局特征，因此它们在图像重建和图像不变识别中发挥着重要作用。 COM使用连续函数作为基函数，图像函数和基函数在连续空间内形成内积，涉及的主要矩包括勒让德矩（LMs）[30]、泽尼克矩（ZMs）[30]、伪泽尼克矩(PZMs) [31]、正交傅里叶-梅林矩 (OFMM) [32]、切比雪夫-傅里叶矩 (CHFM) [33]、贝塞尔-傅里叶矩 (BFM) [34]、径向谐波傅里叶矩 (RHFM) [35 ]、极坐标谐波变换 (PHTs) [10]、指数矩 (EM) [36] 和极坐标谐波傅立叶矩 (PHFM) [9] 等。图像矩的详细类别如图 1 所示。
由于 COM 的出色性能，它们被广泛应用于图像处理的许多领域。然而，传统的COM只能取整数阶，可用的仿射不变量有限，并且存在数值不稳定问题，影响矩的计算精度。近年来，分数阶图像处理引起了研究关注，例如分数阶傅里叶变换[37]和分数Krawtchouk变换[38]。受此启发，研究人员在过去两年也开始关注分数阶 COM（FrCOM）。通过将整数阶 COM（InCOM）转换为分数阶 COM，增加了仿射不变量的数量，提高了计算精度。现有的主要 FrCOM 包括分数阶径向位移勒让德矩 [39]、正交分数阶傅里叶-梅林矩 [40]、正交分数阶切比雪夫矩 [41]、分数阶 Zernike 矩 [42]、分数阶极坐标谐波变换 [43], [44], 分数阶 Jacobi-Fourier 矩 [45], [46], 分数阶 Legendre-Fourier 矩 [47], 分数阶指数矩 [48], [49], 分数阶阶位移格根鲍尔矩 [50]、分数阶广义拉盖尔矩 [51]、[52] 适用于灰度图像、正交分数阶四元数 Zernike 矩 [53]、四元数分数阶极谐波变换 [44]、多通道适用于彩色图像的分数阶径向谐波傅立叶矩[54]和分数阶四元数指数矩[55]。
尽管 FrCOMs 的研究取得了重大进展，但仍然存在一个主要问题。现有的 FrCOM 都是面向平面图像的，目前还没有适用于立体图像的 FrCOM。虽然可以分别计算立体图像左右视图的FrCOMs，但忽略了左右视图之间的关系，影响了立体图像FrCOMs的计算精度。
为了解决这个问题，本文首先推导了各种InCOMs对应的FrCOMs；然后，基于trinion理论和FrCOMs构建了适用于立体图像的trinion FrCOMs (TFrCOMs)。最后，研究了在立体图像零水印算法中的应用，以验证 TFrCOM 出色的几何不变性和稳定性。本文的主要贡献如下：
- 推导了各种InCOMs对应的FrCOMs，其中分数阶PZMs（FrPZMs）和本文首次提出分数阶 CHFMs (FrCHFMs)。设计了为每个 FrCOM 选择最佳分数阶参数的实验。
- 结合三位一体理论和FrCOMs，首次构建了适用于立体图像的TFrCOMs，将立体图像的左右视图描述为一个整体，有效地保留了立体图像的左右视图之间的关系。构建的 TFrCOM 具有出色的立体图像重建性能和几何不变性，可以很好地描述立体图像。
- 研究了TFrCOMs在立体图像零水印算法中的应用。它对几何和普通攻击具有极好的鲁棒性，优于其他立体图像零水印算法，进一步验证了TFrCOMs出色的几何不变性和稳定性。
本文的其余部分安排如下。第二节推导了各种InCOMs对应的FrCOMs，分析了各种FrCOMs的性质，并设计了FrCOMs最佳分数阶参数的选择实验。第三节详细描述了 TFr-COM 的定义、计算、重建过程和特性。在第四节中，对基于 TFr-COM 的立体图像重建、几何不变性和立体图像零水印进行了详细的实验和分析。最后，第五节总结了本文。
