dp解决01背包问题

• 前引
• 一.问题描述
• 二.解决思路
• 三.为什么先解决子问题可以最后解决大问题？
• 四. 完整C++代码

博主现在在面临着七门考试，但今晚得补一个算法作业，在此记录一下解决思路。

有 N 件物品和一个最多能被重量为 W 的背包。第 i 件物品的重量是 weight[i]，得到的价值是 value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
这里我们把问题具体化：有四件商品，价值依次为 1500，2000，2000，3000，对应的重要依次为1，1，3，4，背包容量为4.

动态规划： 先解决子问题，再逐步解决大问题
我们的目标是求出在有四件商品可选的情况下，容量为4的背包能装入的最大价值。那么这个问题的子问题是：在有1~4个商品可选的情况下，容量1 ~ 4的背包能装入的最大价值。我们可以表示为以下表格

显然表格右下角的数值就是我们最终的答案

按照先遍历物品，再遍历背包重量的思路，具体的求解思路应该是：先求出一件商品可选情况下，背包总 1 ~ 4的最大价值，再求出二件商品可选…逐步求出四件商品可选时，背包容量为4的最大价值

对于表格的每一项，在第一行仅可选一件商品情况下，背包价值在能装下该商品的情况下，最大价值为该商品价值

if (i == 0 && weight[0]<=j) // i:commodity serial number , j:bagweight
		dp[i][j] = value[0];  // Only one item can be selected

对于表格的其余项，填入的值只有两种选择

1. 当前商品行的价值 + 背包剩余容量可装下的最大价值

2. 不选择装入当前行商品，背包内物品最大价值不变

两者取max
显然，当背包容量小于当前商品重量时，必然只能选择第二个

for (int i = 1; i < cdyNum; i++)  // commodity serial number
		for (int j = 1; j <= bagWeight; j++)  // bagweight
		{
			if (j < weight[i])//bagWeight is less than the current row weight, the maximum value will not change
				dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 
			else
				dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], value[i] + dp[i - 1][j - weight[i]]);
		}

自此我们可以看出，子问题为我们提供了一个信息：背包剩余容量可装下的最大价值，进而我们才可以确定两个选择的值，进而选出最大价值。

代码中对表格的初始化略显多余，对除第1行第0列的赋值以外均没有必要，但为了避免变量出现不确定值，我还是选择对该部分初始化为0。

#include
#include
#include
using namespace std;

void Solution()
{
	int bagWeight = 4;
	int cdyNum = weight.size(); //number of commondity 
	vectorweight { 1,1,3,4};
	vectorvalue{ 1500,2000,2000,3000};


	vector> dp(cdyNum,vector(bagWeight + 1));// Two-dimensional array

	//initial
	for(int i = 0;i
			if (j == 0)  // bagWeight = 0 ,so total value = 0
				dp[i][j] = 0;
			else if (i == 0 && weight[0]<=j)
				dp[i][j] = value[0];  // Only one item can be selected
			else 
				dp[i][j] = 0;
		}

	// dynamic programming
	for (int i = 1; i < cdyNum; i++)  // commodity serial number
		for (int j = 1; j <= bagWeight; j++)  // bagweight
		{
			if (j < weight[i])//bagWeight is less than the current row weight, the maximum value will not change
				dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 
			else
				dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], value[i] + dp[i - 1][j - weight[i]]);
			
		}

	//result
	cout <<"the maximum value: "<< dp[cdyNum - 1][bagWeight] << endl;
}


int main()
{
	Solution();
}

咱就把 01 背包问题讲个通透！ - 力扣