- 对偶数
- 一、对偶数是什么？
- 二、对偶矢量
- 三、对偶四元数
对偶数 一、对偶数是什么？
https://zhuanlan.zhihu.com/p/358146509
对偶数是一种特殊的自洽的运算，类似于常用的复数基本单位 i i i （ i 2 = − 1 i^2=-1 i2=−1），这里数学家们对对偶数基本单位的定义是 ϵ epsilon ϵ （ ϵ 2 = 0 epsilon^2=0 ϵ2=0 且 ϵ ≠ 0 epsilonneq0 ϵ=0）。
类似于复数的定义 a + i b a+ib a+ib，对偶数的定义为 a + ϵ b a+epsilon b a+ϵb。
基于上述定义，定义两个对偶数
d
1
=
a
1
+
ϵ
b
1
d_1=a_1+epsilon b_1
d1=a1+ϵb1 和
d
2
=
a
2
+
ϵ
b
2
d_2=a_2+epsilon b_2
d2=a2+ϵb2 ，按照一般的运算法则可以得到对偶数的运算：
k
d
1
=
(
k
a
1
)
+
ϵ
(
k
b
1
)
d
1
+
d
2
=
(
a
1
+
a
2
)
+
ϵ
(
b
1
+
b
2
)
d
1
d
2
=
a
1
a
2
+
ϵ
(
a
1
b
2
+
a
2
b
1
)
+
ϵ
2
b
1
b
2
=
a
1
a
2
+
ϵ
(
a
1
b
2
+
a
2
b
1
)
d
1
∗
=
a
1
−
ϵ
b
1
∣
d
1
∣
=
d
1
d
1
∗
=
∣
a
1
∣
d
1
−
1
=
1
a
1
+
ϵ
b
1
=
a
1
−
ϵ
b
1
a
1
2
=
1
a
1
−
ϵ
b
1
a
1
2
if
a
1
≠
0
d
2
d
1
=
a
2
+
ϵ
b
2
a
1
+
ϵ
b
1
=
(
a
2
+
ϵ
b
2
)
(
a
1
−
ϵ
b
1
)
(
a
1
+
ϵ
b
1
)
(
a
1
−
ϵ
b
1
)
=
a
1
a
2
+
ϵ
(
a
1
b
2
−
a
2
b
1
)
a
1
2
=
a
2
a
1
+
ϵ
(
b
2
a
1
−
a
2
b
1
a
1
2
)
if
a
1
≠
0
begin{aligned} k d_1&= (k a_1) + epsilon (k b_1) \ d_1+d_2 &= (a_1+a_2) + epsilon (b_1+b_2) \ d_1d_2 &=a_1a_2+ epsilon (a_1b_2+a_2b_1)+epsilon^2b_1b_2=a_1a_2+ epsilon (a_1b_2+a_2b_1) \ d_1^* &=a_1-epsilon b_1 \ |d_1| & = sqrt{d_1d_1^*}=|a_1| \ d_1^{-1}&=frac{1}{a_1+epsilon b_1}=frac{a_1-epsilon b_1}{a_1^2}=frac{1}{a_1}-epsilonfrac{b_1}{a_1^2} quad text{if}~ a_1neq 0 \ frac{d_2}{d_1}&=frac{a_2+epsilon b_2}{a_1+epsilon b_1}=frac{(a_2+epsilon b_2)(a_1-epsilon b_1)}{(a_1+epsilon b_1)(a_1-epsilon b_1)}=frac{a_1a_2+epsilon(a_1b_2-a_2b_1)}{a_1^2}=frac{a_2}{a_1}+epsilon(frac{b_2}{a_1}-frac{a_2b_1}{a_1^2}) quad text{if}~ a_1neq 0 end{aligned}
kd1d1+d2d1d2d1∗∣d1∣d1−1d1d2=(ka1)+ϵ(kb1)=(a1+a2)+ϵ(b1+b2)=a1a2+ϵ(a1b2+a2b1)+ϵ2b1b2=a1a2+ϵ(a1b2+a2b1)=a1−ϵb1=d1d1∗
=∣a1∣=a1+ϵb11=a12a1−ϵb1=a11−ϵa12b1if a1=0=a1+ϵb1a2+ϵb2=(a1+ϵb1)(a1−ϵb1)(a2+ϵb2)(a1−ϵb1)=a12a1a2+ϵ(a1b2−a2b1)=a1a2+ϵ(a1b2−a12a2b1)if a1=0
对偶数最大的好处是泰勒展开，后面多余的项直接消失，即
f
(
a
+
ϵ
b
)
=
f
(
a
)
+
ϵ
b
f
′
(
a
)
+
ϵ
2
(
…
)
=
f
(
a
)
+
ϵ
b
f
′
(
a
)
f(a+epsilon b)=f(a)+epsilon b f'(a)+epsilon^2(dots)=f(a)+epsilon b f'(a)
f(a+ϵb)=f(a)+ϵbf′(a)+ϵ2(…)=f(a)+ϵbf′(a)因此，进一步可以得到
e
a
+
ϵ
b
=
e
a
+
ϵ
b
e
a
ln
(
a
+
ϵ
b
)
=
ln
(
a
)
+
ϵ
b
1
a
if
a
≠
0
sin
(
a
+
ϵ
b
)
=
sin
(
a
)
+
ϵ
b
cos
(
a
)
cos
(
a
+
ϵ
b
)
=
cos
(
a
)
−
ϵ
b
sin
(
a
)
begin{aligned} e^{a+epsilon b}&=e^{a}+epsilon b e^a \ ln(a+epsilon b)&=ln(a)+epsilon bfrac{1}{a}quad text{if}~ aneq 0 \ sin(a+epsilon b)&=sin(a)+epsilon b cos(a) \ cos(a+epsilon b)&=cos(a)-epsilon b sin(a) end{aligned}
ea+ϵbln(a+ϵb)sin(a+ϵb)cos(a+ϵb)=ea+ϵbea=ln(a)+ϵba1if a=0=sin(a)+ϵbcos(a)=cos(a)−ϵbsin(a)
进一步，可以发现 f ′ ( a ) = f ( a + ϵ b ) − f ( a ) ϵ b f'(a)=frac{f(a+epsilon b)-f(a)}{epsilon b } f′(a)=ϵbf(a+ϵb)−f(a)注意这里是直接线性化，而不是近似线性化，这个可以用来计算导数。
二、对偶矢量翟洪民. 基于对偶四元数的航天器近距离接近位姿同步规划与控制. 哈尔滨工业大学, 2021
对偶矢量
d
=
a
+
ϵ
b
boldsymbol{d}=boldsymbol{a}+epsilon boldsymbol{b}
d=a+ϵb ，
a
,
b
∈
R
n
boldsymbol{a},boldsymbol{b}inmathbb{R}^n
a,b∈Rn，又有
d
=
[
a
1
a
2
⋮
a
n
]
+
ϵ
[
b
1
b
2
⋮
b
n
]
=
[
a
1
+
ϵ
b
1
a
2
+
ϵ
b
n
⋮
a
n
+
ϵ
b
n
]
boldsymbol{d}=left[begin{array}{c} a_{1} \ a_{2} \ vdots \ a_{n} end{array}right]+epsilon left[begin{array}{c} b_{1} \ b_{2} \ vdots \ b_{n} end{array}right]=left[begin{array}{c} a_1+epsilon b_1 \ a_2+epsilon b_n \ vdots \ a_n+epsilon b_n end{array}right]
d=⎣⎢⎢⎢⎡a1a2⋮an⎦⎥⎥⎥⎤+ϵ⎣⎢⎢⎢⎡b1b2⋮bn⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡a1+ϵb1a2+ϵbn⋮an+ϵbn⎦⎥⎥⎥⎤也就是说，它可以既被看作实数部分、对偶部分均都矢量构成的对偶数，同时又被看作以对偶数作为元素的矢量。
空间中任意一条直线可用单位对偶矢量来描述。如下图所示，直线 R boldsymbol{R} R 可以表示为 l + ϵ m boldsymbol{l}+epsilon boldsymbol{m} l+ϵm， l boldsymbol{l} l 显示直线的平行方向， m boldsymbol{m} m 显示直线与原点的垂直距离。这里的单位对偶向量通常被称为普吕克（Plücker）直线。
三、对偶四元数
对偶四元数可以看作是元素为对偶数的四元数，也可以看作是元素为四元数的对偶数，即
q
^
=
[
η
^
,
ξ
^
]
=
q
+
ϵ
q
′
=
η
+
ξ
1
i
+
ξ
2
j
+
ξ
3
k
+
ϵ
(
η
′
+
ξ
1
′
i
+
ξ
2
′
j
+
ξ
3
′
k
)
begin{aligned}hat{boldsymbol q}&=[hat{eta},hat{boldsymbol{xi}}]=boldsymbol q+epsilon boldsymbol q' \ &=eta+xi_1boldsymbol{i}+xi_2boldsymbol{j}+xi_3boldsymbol{k}+epsilonleft( eta'+xi_1'boldsymbol{i}+xi_2'boldsymbol{j}+xi_3'boldsymbol{k} right) end{aligned}
q^=[η^,ξ^]=q+ϵq′=η+ξ1i+ξ2j+ξ3k+ϵ(η′+ξ1′i+ξ2′j+ξ3′k)
这里的共轭和上面的有些区别，是因为我们将其视为元素为对偶数的四元数。为什么不把它当作元素为四元数的对偶数进行求共轭，具体原因见https://blog.csdn.net/weixin_44382195/article/details/125400408?spm=1001.2014.3001.5501。
q
^
∗
=
q
∗
+
ϵ
q
′
∗
hat{boldsymbol q}^*=boldsymbol q^*+epsilon boldsymbol q'^*
q^∗=q∗+ϵq′∗
