为寻求正交变换
y
=
P
T
x
boldsymbol{y}=boldsymbol{P}^text{T}boldsymbol{x}
y=PTx，使得二次型
f
=
x
T
A
x
f=boldsymbol{x}^text{T}boldsymbol{Ax}
f=xTAx的标准形为
f
=
y
T
Λ
y
f=boldsymbol{y}^text{T}boldsymbol{Lambda y}
f=yTΛy，其中
Λ
boldsymbol{Lambda}
Λ为一对角阵，只需要调用numpy.linalg的eigh函数（用法见博文《对称矩阵的对角化》），即可算得。
例1 用Python对二次型
f
=
−
2
x
1
x
2
+
2
x
1
x
3
+
2
x
2
x
3
f=-2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3
f=−2x1x2+2x1x3+2x2x3，计算正交变换
y
=
P
T
x
boldsymbol{y}=boldsymbol{P}^text{T}boldsymbol{x}
y=PTx，及对角阵
Λ
boldsymbol{Lambda}
Λ，使得
f
f
f的标准形为
f
=
y
T
Λ
y
f=boldsymbol{y}^text{T}boldsymbol{Lambda y}
f=yTΛy。
import numpy as np #导入numpy
np.set_printoptions(precision=4, suppress=True) #设置输出精度
A=np.array([[0,-2,2], #设置齐二次式
[0,0,2],
[0,0,0]])
symmetrization(A) #对称化
v,P=np.linalg.eigh(A) #计算正交阵P及标准形系数
print(v)
print(P)
print(np.matmul(np.matmul(P.T,A),P))
程序的第3~5行就 f = − 2 x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 + 2 x 2 x 3 f=-2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3 f=−2x1x2+2x1x3+2x2x3的各项系数初始化矩阵A，第6行调用函数symmetrization(A)（见博文《齐二次式二次型矩阵计算》）对称化A。第8行调用numpy.linalg的eigh函数计算A的特征值v及正交矩阵P。运行程序，输出
[-2. 1. 1.] [[-0.5774 -0.4225 0.6987] [-0.5774 0.8163 0.0166] [ 0.5774 0.3938 0.7152]] [[-2. 0. 0.] [ 0. 1. 0.] [ 0. 0. 1.]]
第1行显示
A
boldsymbol{A}
A的3个特征值-2，1，1。接下来的3行显示正交阵
P
boldsymbol{P}
P，最后3行显示的是
f
f
f的标准形矩阵
P
T
A
P
=
(
−
2
0
0
0
1
0
0
0
1
)
boldsymbol{P}^text{T}boldsymbol{AP}=begin{pmatrix}-2&0&0\0&1&0\0&0&1end{pmatrix}
PTAP=⎝⎛−200010001⎠⎞。即二次型
f
f
f的标准形为
f
=
−
2
y
1
2
+
y
2
2
+
y
3
2
f=-2y_1^2+y_2^2+y_3^2
f=−2y12+y22+y32。
为判断
n
n
n元齐二次式
f
f
f表示的二次型是否为正定，若二次型矩阵为
A
boldsymbol{A}
A，只需调用numpy.linalg的
eigvalsh(A)
text{eigvalsh(A)}
eigvalsh(A)
该函数的参数A表示对称阵
A
boldsymbol{A}
A，返回
A
boldsymbol{A}
A的
n
n
n个特征值（包含重根，按升序排列）。若所有特征值全部都是正实数，则
f
f
f是正定的。若所有特征值是负实数，则
f
f
f为负定的。若特征值中含有0、若干负实数、若干个正实数，则
f
f
f既非正定亦非负定。
例2 用Python判断齐二次式
f
=
−
5
x
1
2
−
6
x
2
2
−
4
x
3
2
+
4
x
1
x
2
+
4
x
1
x
3
f=-5x_1^2-6x_2^2-4x_3^2+4x_1x_2+4x_1x_3
f=−5x12−6x22−4x32+4x1x2+4x1x3的正定性。
import numpy as np #导入numpy
A=np.array([[-5,4,4], #初始化A
[0,-6,0],
[0,0,-4]])
[symmetrization(A)] #对称化A
v=np.linalg.eigvalsh(A) #计算A的特征值
print(v)
利用代码中的注释信息，不难理解程序代码。运行程序，输出
[-8. -5. -2.]
由于三个特征值均为负实数，故二次型
f
f
f是负定的。
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