空间直线到平面上的交点的计算证明及其源码

目的：最近写C++代码，遇到一些基础的算法。需要空间直线和平面的交点。

直线的向量表达： L : r → = P 0 → + t N 0 → L:overrightarrow{r}=overrightarrow{P_0}+toverrightarrow{N_0} L:r =P0​ ​+tN0​ ​；其中 P 0 → = ( x 0 y 0 z 0 ) overrightarrow{P_0}=begin{pmatrix} x_0 \ y_0 \ z_0 end{pmatrix} P0​ ​=⎝⎛​x0​y0​z0​​⎠⎞​, N 0 → = ( n x 0 n y 0 n z 0 ) overrightarrow{N_0}=begin{pmatrix} n_x^0 \ n_y^0 \ n_z^0 end{pmatrix} N0​ ​=⎝⎛​nx0​ny0​nz0​​⎠⎞​
平面的向量表达： π : N 1 → T ⋅ X + d 1 = 0 pi: overrightarrow{N_1}^T cdot X+d_1=0 π:N1​ ​T⋅X+d1​=0；其中 N 1 → = ( n x 1 n y 1 n z 1 ) overrightarrow{N_1}=begin{pmatrix} n_x^1 \ n_y^1 \ n_z^1 end{pmatrix} N1​ ​=⎝⎛​nx1​ny1​nz1​​⎠⎞​, d d d为标量。

对于直线到平面的交点它分为三种情况：
1）在平面上
2）平行平面
3）和平面相交
图示如下：

左图和中间图可以看到，它和平面没有交点。因此需要判断直线是否和平面相交。在传统的空间中，平面和直线平面的话，直线和平面的发向量是垂直的。因此可以通过计算 N 0 → overrightarrow{N_0} N0​ ​和 N 1 → overrightarrow{N_1} N1​ ​之间的夹角。如果它是垂直表面直线和平面平行。
c o s ( θ ) − > N 0 → T ⋅ N 1 → cos(theta)->overrightarrow{N_0}^T cdot overrightarrow{N_1} cos(θ)−>N0​ ​T⋅N1​ ​
如果它接近于0表示它平行。

下面将介绍相交的情况
如果平面和直线相交，对于直线来说，只需要计算 t t t即可。
L : r → = P 0 → + t N 0 → L:overrightarrow{r}=overrightarrow{P_0}+toverrightarrow{N_0} L:r =P0​ ​+tN0​ ​带入公式 π : N 1 → T ⋅ X + d 1 = 0 pi: overrightarrow{N_1}^T cdot X+d_1=0 π:N1​ ​T⋅X+d1​=0得到如下：
N 1 → T ⋅ ( P 0 → + t N 0 → ) + d 1 = 0 = > N 1 → T ⋅ P 0 → + t N 1 → T ⋅ N 0 → + d 1 = 0 t = ( − d 1 − N 1 → T ⋅ P 0 → ) / N 1 → T ⋅ N 0 → overrightarrow{N_1}^T cdot (overrightarrow{P_0}+toverrightarrow{N_0})+d_1=0 \ =>overrightarrow{N_1}^T cdot overrightarrow{P_0}+t overrightarrow{N_1}^T cdot overrightarrow{N_0}+d_1=0 \ t=(-d_1 - overrightarrow{N_1}^T cdot overrightarrow{P_0})/overrightarrow{N_1}^T cdot overrightarrow{N_0} N1​ ​T⋅(P0​ ​+tN0​ ​)+d1​=0=>N1​ ​T⋅P0​ ​+tN1​ ​T⋅N0​ ​+d1​=0t=(−d1​−N1​ ​T⋅P0​ ​)/N1​ ​T⋅N0​ ​
因为向量 P 0 → overrightarrow{P_0} P0​ ​, N 0 → overrightarrow{N_0} N0​ ​, N 1 → overrightarrow{N_1} N1​ ​都是已知，因此可以求的 t = t n t=t_n t=tn​。
带入得到
r n → = P 0 → + t n N 0 → overrightarrow{r_n}=overrightarrow{P_0}+t_noverrightarrow{N_0} rn​ ​=P0​ ​+tn​N0​ ​

基于上述的公式，源码如下：

bool LineRayToPlanePnt(Eigen::Vector3f& o_orign, Eigen::Vector3f& o_dir, Eigen::Vector4f& fn, Eigen::Vector3f& inter_pnt)
	{
		Eigen::Vector3f N = Eigen::Vector3f(fn[0], fn[1], fn[2]);
		float D = fn[3];
		if (std::abs(o_dir.dot(N)) < 1e-8)
		{
			return false;
		}
		float t = -(o_orign.dot(N) + D) / (o_dir.dot(N));
		inter_pnt = o_orign + t*o_dir;
	}