- 1. 哈夫曼树
- 1.1 基本概念
- 1.2 构造哈夫曼树
- 1.3 哈夫曼树的类型定义
- 1.4 哈夫曼树创建的算法实现
- 2. 哈夫曼编码实现
- 2.1 哈夫曼编码
- 2.2 完整代码
- 2.3 运行结果
路径：指从根结点到该结点的分支序列。
路径长度：指根结点到该结点所经过的分支数目。
结点的带权路径长度：从树根到某一结点的路径长度与该结点的权的乘积。
树的带权路径长度(WPL)：树中从根到所有叶子结点的各个带权路径长度之和。
哈夫曼树是由 n 个带权叶子结点构成的所有二叉树中带权路径长度最短的二叉树，又称最优二叉树。如上图中第三棵树就是一棵哈夫曼树。
构造哈夫曼树的算法步骤：
① 初始化：用给定的 n 个权值{w1,w2,…,wn}构造 n 棵二叉树并构成的森林F={T1,T2,…,Tn}，其中每一棵二叉树Ti（1<=i<=n）都只有一个权值为 wi 的根结点，其左、右子树为空。
② 找最小树：在森林 F 中选择两棵根结点权值最小的二叉树，作为一棵新二叉树的左、右子树，标记新二叉树的根结点权值为其左、右子树的根结点权值之和。
③ 删除与加入：从 F 中删除被选中的那两棵二叉树，同时把新构成的二叉树加入到森林 F 中。
④ 判断：重复②、③操作，直到森林中只含有一棵二叉树为止，此时得到的这棵二叉树就是哈夫曼树。
简单的说就是先选择权小的，所以权小的结点被放置在树的较深层，而权较大的离根较近，这样一来所构成的哈夫曼树就具有最小带权路径长度。
例如给定5个权值{2，3，5，7，8}，构造过程如下：
注意：由于未规定左右子树顺序，因此哈夫曼树不唯一，但树的最小带权路径长度唯一。如下图两棵树都是根据5个权值{2，3，5，7，8}构造的哈夫曼树：
哈夫曼树是一种二叉树，其中没有度为1的结点，因此一棵有 n 个叶子的哈夫曼树共有 2n-1 个结点，可以用一个大小为 2n-1 的一维数组来存放哈夫曼树的各个结点。由于每个结点同时还包含其双亲信息和孩子结点的信息，所以构成一个静态三叉链表。
# define N 30 //叶子结点的最大值
# define M 2 * N - 1 //所有结点的最大值
typedef struct {
int weight; //结点的权值
int parent; //双亲的下标
int LChild; //左孩子结点的下标
int RChild; //右孩子结点的下标
}HTNode, HuffmanTree[M + 1]; //HuffmanTree是一个结构数组类型，0号单元不用
1.4 哈夫曼树创建的算法实现
基于上文中的构造哈夫曼树的步骤，代码如下：
void Select(HuffmanTree ht, int n, int* s1, int* s2) {
int i, min1 = MAX, min2 = MAX;
*s1 = 0;
*s2 = 0;
for (i = 1; i <= n; i++) {
if (ht[i].parent == 0) {
if (ht[i].weight < min1) {
min2 = min1;
*s2 = *s1;
min1 = ht[i].weight;
*s1 = i;
}
else if (ht[i].weight < min2) {
min2 = ht[i].weight;
*s2 = i;
}
}
}
}
void CrtHuffmanTree(HuffmanTree ht, int w[], int n) {
//构造哈夫曼树ht[M+1],w[]存放n个权值
int i;
for (i = 1; i <= n; i++) { //1至n号单元存放叶子结点，初始化
ht[i].weight = w[i - 1];
ht[i].parent = 0;
ht[i].LChild = 0;
ht[i].RChild = 0;
}
int m = 2 * n - 1; //所有结点总数
for (i = n + 1; i <= m; i++) { //n+1至m号单元存放非叶结点，初始化
ht[i].weight = 0;
ht[i].parent = 0;
ht[i].LChild = 0;
ht[i].RChild = 0;
}
int s1, s2;
for (i = n + 1; i <= m; i++) { //创建非叶结点，建哈夫曼树
Select(ht, i - 1, &s1, &s2);//在ht[1]至ht[i-1]的范围内选择两个parent为0且weight最小的结点，其序号分别赋给s1，s2
ht[i].weight = ht[s1].weight + ht[s2].weight;
ht[s1].parent = i;
ht[s2].parent = i;
ht[i].LChild = s1;
ht[i].RChild = s2;
}
}
2. 哈夫曼编码实现
2.1 哈夫曼编码
对一棵具有n个叶子结点的哈夫曼树，若对树中的每个左分支赋0，右分支赋1（或左1右0），则从根到每个叶子的通路上，各个分支的赋值分别构成一个二进制串，该二进制串就称为哈夫曼编码。哈夫曼编码是最优前缀编码，能使各种报文对应的二进制串的平均长度最短。
例如要传送数据“state,seat,act,tea,cat,set,a,eat”，先统计各个字符出现的次数：
| 字符 | c | s | e | a | t |
|---|---|---|---|---|---|
| 字符出现的次数 | 2 | 3 | 5 | 7 | 8 |
将出现次数当作权构造哈夫曼树，并按左0右1规则对分支赋值：
则各字符的哈夫曼编码为：
| 字符 | c | s | e | a | t |
|---|---|---|---|---|---|
| 字符出现的次数 | 2 | 3 | 5 | 7 | 8 |
| 哈夫曼编码 | 010 | 011 | 00 | 10 | 11 |
可以看出使用频率越高的字符编码长度越短。
哈夫曼编码的代码实现：
void CrtHuffmanCode(HuffmanTree ht, int n) {
//从叶子结点到根，逆向求每个叶子结点(共n个)对应的哈夫曼编码
char* cd;
cd = (char*)malloc(n * sizeof(char)); //分配当前编码的工作空间
cd[n - 1] = ' '; //从右向左逐位存放编码，首先存放编码结束符
for (int i = 1; i <= n; i++) { //求n个叶子结点对应的哈夫曼编码
int start = n - 1, c = i, p = ht[i].parent;
while (p != 0) {
--start;
if (ht[p].LChild == c) //左分支标0
cd[start] = '0';
else
cd[start] = '1'; //右分支标1
c = p; //向上倒堆
p = ht[p].parent;
}
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (cd[j] == '0' || cd[j] == '1') {
printf("%c", cd[j]); //编码输出
}
}
memset(cd, 0, n);
}
}
2.2 完整代码
# include2.3 运行结果# include # include # define N 30 //叶子结点的最大值 # define M 2 * N - 1 //所有结点的最大值 # define MAX 99999 typedef struct { int weight; //结点的权值 int parent; //双亲的下标 int LChild; //左孩子结点的下标 int RChild; //右孩子结点的下标 }HTNode, HuffmanTree[M + 1]; //HuffmanTree是一个结构数组类型，0号单元不用 HuffmanTree ht; void Select(HuffmanTree ht, int n, int* s1, int* s2) { int i, min1 = MAX, min2 = MAX; *s1 = 0; *s2 = 0; for (i = 1; i <= n; i++) { if (ht[i].parent == 0) { if (ht[i].weight < min1) { min2 = min1; *s2 = *s1; min1 = ht[i].weight; *s1 = i; } else if (ht[i].weight < min2) { min2 = ht[i].weight; *s2 = i; } } } } void CrtHuffmanTree(HuffmanTree ht, int w[], int n) { //构造哈夫曼树ht[M+1],w[]存放n个权值 int i; for (i = 1; i <= n; i++) { //1至n号单元存放叶子结点，初始化 ht[i].weight = w[i - 1]; ht[i].parent = 0; ht[i].LChild = 0; ht[i].RChild = 0; } int m = 2 * n - 1; //所有结点总数 for (i = n + 1; i <= m; i++) { //n+1至m号单元存放非叶结点，初始化 ht[i].weight = 0; ht[i].parent = 0; ht[i].LChild = 0; ht[i].RChild = 0; } int s1, s2; for (i = n + 1; i <= m; i++) { //创建非叶结点，建哈夫曼树 Select(ht, i - 1, &s1, &s2);//在ht[1]至ht[i-1]的范围内选择两个parent为0且weight最小的结点，其序号分别赋给s1，s2 ht[i].weight = ht[s1].weight + ht[s2].weight; ht[s1].parent = i; ht[s2].parent = i; ht[i].LChild = s1; ht[i].RChild = s2; } } void CrtHuffmanCode(HuffmanTree ht, int n, char str[]) { //从叶子结点到根，逆向求每个叶子结点(共n个)对应的哈夫曼编码 char* cd; cd = (char*)malloc(n * sizeof(char)); //分配当前编码的工作空间 for (int i = 1; i <= n; i++) { //求n个叶子结点对应的哈夫曼编码 int start = n - 1, c = i, p = ht[i].parent; while (p != 0) { --start; if (ht[p].LChild == c) //左分支标0 cd[start] = '0'; else cd[start] = '1'; //右分支标1 c = p; //向上倒堆 p = ht[p].parent; } printf("%c的编码：", str[i - 1]); for (int j = 0; j < n; j++) { if (cd[j] == '0' || cd[j] == '1') { printf("%c", cd[j]); //编码输出 } } printf("n"); memset(cd, -1, n); } } int main() { int i, w[5] = { 2,3,5,7,8 }; char str[5] = { 'c','s','e','a','t' }; CrtHuffmanTree(ht, w, 5); printf("哈夫曼树各结点值：n"); for (i = 1; i <= 9; i++) printf("%d ", ht[i].weight); printf("n"); CrtHuffmanCode(ht, 5, str); return 0; }
参考：耿国华《数据结构——用C语言描述（第二版）》
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