【深度学习基础】神经网络的学习（3）

通过前面的学习，我们知道了多维变量下的偏导数的计算方法。神经网络学习的过程是不断追求最优参数的过程，而计算偏导数和梯度就是追求最优参数的最快路径。

梯度，就是多维自变量的偏导数构成的向量集合。例如对于下面的函数：

对x0的偏导计算：

对x1的偏导计算：

那么梯度就是两个偏导数一起构成的向量：

根据前面的学习，偏导数的计算可以采用中心差分的方式计算，而就某一维自变量的计算时，其他维度的自变量视为常量：

def numerical_gradient(f, x):
    # 微小变化量
    h = 1e-4 # 0.0001

    # 生成等维度的数组
    grad = np.zeros_like(x) # 生成和x形状相同的数组

    for idx in range(x.size): 
        # 当前维度的自变量的值
        tmp_val = x[idx]
        
        # f(x+h)的计算
        x[idx] = tmp_val + h 
        fxh1 = f(x)

        # f(x-h)的计算
        x[idx] = tmp_val - h 
        fxh2 = f(x)

        # 差分计算
        grad[idx] = (fxh1 - fxh2) / (2*h) 

        x[idx] = tmp_val # 还原值

    return grad

那么计算函数在某些位置的偏导、梯度就很方便了：

def function_2(x):
    return x[0]**2 + x[1]**2

>>> numerical_gradient(function_2, np.array([3.0, 4.0])) 
array([ 6., 8.])A
>>> numerical_gradient(function_2, np.array([0.0, 2.0])) 
array([ 0., 4.])
>>> numerical_gradient(function_2, np.array([3.0, 0.0])) 
array([ 6., 0.])

 我们看到函数在不同的位置，他们的偏导数各不相同，那么这些偏导数和梯度有什么含义呢？

 如果按照负梯度作为向量绘制到图像中的时候，我们得到上面的图像。我们发现，箭头都指向函数最小值的位置，就像我们三维图像一样，他们都指向凹槽的底部：

 实际上，负梯度所指向的方向，就是函数在该位置减小幅度最大的方向。

既然负梯度指向的是函数在该位置减小幅度最大的方向，我们就可以利用这一特性，慢慢的调整参数，使之达到最优（达到代价函数的最低点）。

 也就是说，每次我们计算该位置的梯度，然后在此处向梯度下降的位置移动一个小单位，这样我们一步步地接近目标。

这里的η是学习率，觉得我们每一步迈进的大小。学习率不宜过大，否则容易来回跳，找不到最优的值；学习率也不宜过小，否则学习速度太慢，效率低。

（一般动态调整学习率，前面的步骤使用较大的学习率，速度快，后面的步骤使用较小的学习率，速度慢但是可以避免越过最优值。）

我们先来实现梯度下降过程中的位置更新：

def gradient_descent(f, init_x, lr=0.01, step_num=100):
    x = init_x
    # 开始迭代更新
    for i in range(step_num):
        # 计算梯度
        grad = numerical_gradient(f, x) 
        # 移动位置
        x -= lr * grad
    
    return x

 我们尝试计算一下最小值：

>>> def function_2(x):
... return x[0]**2 + x[1]**2 ...
>>> init_x = np.array([-3.0, 4.0])
>>> gradient_descent(function_2, init_x=init_x, lr=0.1, step_num=100) 
array([ -6.11110793e-10, 8.14814391e-10])

我们发现得到的结果非常接近（0,0）这说明真的找到了函数的最低点

 而实际上，自变量也真的是沿着负梯度的方向一步步地移动到最低处。

在学习过程中的梯度就是代价函数与权重矩阵的偏导向量。

 权重更新