本文内容来自于学习麻省理工学院公开课：单变量微积分-反常积分-网易公开课
Bullseye：第一单元 用python学习微积分（一） 安装开发环境Anaconda 和 导数（上）- 1/x的导数
目录
一、洛必达法则复习
1、无限比无限的情况（ ）
二、反常积分
1、基本概念
2、例1
（1）( k > 0 )
（2） 放射性粒子的平均衰减度（概率相关）
3、例2 一个概率计算中重要的常量
4、例3 1/x的p次幂 （p>0）
（1）临界情况 p=1
（2）
（3）结论：式子 ， 当 时是发散的，而当 p >1 时是收敛的（ ）
5、极限的比较
6、例4
7、例5
8、例2 - 续
一、洛必达法则复习
1、无限比无限的情况（ ）
如果 , , 成立， 则 , 其中 或 是允许的。
可以理解为 ， 0 )" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28%20f%2Cg%20%3E%200%20%29" />
函数值排序：
增长： 0} infty" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?ln%28x%29%20%5Cll%20x%5Ep%20%5Cll%20e%5Ex%20%5Cll%20e%5E%7Bx%5E2%7D%20%5Crightarrow_%7Bx%5Crightarrow%20%5Cinfty%2C%20p%3E0%7D%20%5Cinfty" />
函数值排序：
减小：0} 0" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Bln%28x%29%7D%20%5Cgg%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5Ep%7D%20%5Cgg%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20e%5Ex%7D%20%5Cgg%5Cfrac%7B1%7D%7B%20e%5E%7Bx%5E2%7D%20%7D%5Crightarrow_%7Bx%5Crightarrow%20%5Cinfty%2C%20p%3E0%7D%200" />
二、反常积分
1、基本概念
如果这个积分极限存在(这个极限有限)，他就是收敛的(converges)，否则就是发散的(diverges)
函数的积分收敛的情况，也就是函数曲线到x轴的面积是有限的，否则这个曲线下的面积就是无限的
添加图片注释，不超过 140 字（可选）
2、例1
（1）( k > 0 )
import numpy as np
from sympy import *
import matplotlib.pyplot as plt
figure, ax= plt.subplots( 1 )
ax.set_aspect( 1 )
def DrawXY1(xFrom,xTo,steps,expr,color,label,plt, arrow =False):
yarr = []
xarr = np.linspace(xFrom ,xTo, steps)
for xval in xarr:
#print(expr.subs(x,xval), xval)
yval = expr.subs(x,xval)
yarr.append(yval)
y_nparr = np.array(yarr)
x_nparr = np.array(xarr)
length = len (xarr)
plt.plot(x_nparr, y_nparr, c=color, label=label)
if(arrow and steps > 2):
plt.arrow(float(x_nparr[0]),float( y_nparr[0]),float( x_nparr[2]-x_nparr[0]),float( y_nparr[2]-y_nparr[0]), width=.02, color = color)
def DrawXY(tFrom,tTo,steps,exprX,exprY, color,label,plt, arrow =False):
xarr = []
yarr = []
tarr = np.linspace(tFrom ,tTo, steps)
for tval in tarr:
xval = exprX.subs(t,tval)
xarr.append(xval)
yval = exprY.subs(t,tval)
yarr.append(yval)
y_nparr = np.array(yarr)
x_nparr = np.array(xarr)
length = len (xarr)
plt.plot(x_nparr, y_nparr, c=color, label=label)
if(arrow and steps > 2):
plt.arrow(float(x_nparr[0]),float( y_nparr[0]),float( x_nparr[2]-x_nparr[0]),float( y_nparr[2]-y_nparr[0]), width=.02, color = color)
x = symbols('x')
k=2
expr = np.e**(-k**2*x)
DrawXY1( 0.1,4,50,expr,color='c', label=' e**(-k**2*x)',plt = plt, arrow = True)
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()
0} frac{1}{k}" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cint_0%5E%7BN%7D%20e%5E%7B-kx%7Ddx%20%3D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7De%5E%7B-kx%7D%7C_0%5E%7BN%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7De%5E%7B-kN%7D%20-%20%28-%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%29%20%5Crightarrow_%7BN%5Crightarrow%20%5Cinfty%2Ck%3E0%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D" />
简便写法：
（2） 放射性粒子的平均衰减度（概率相关）
在时间T内辐射出的粒子的总数= A代表某总数
所能辐射出的粒子的总数=
3、例2 一个概率计算中重要的常量
以上这些式子都是收敛的，从而告诉我们当遇到包含它们的式子时，我们能知道这些是有极限的
4、例3 1/x的p次幂 （p>0）
（1）临界情况 p=1
所以这个积分是发散的
x = symbols('x')
expr = 1/x
DrawXY1( 1,50,50,expr,color='c', label='1/x',plt = plt, arrow = False)
expr = ln(x)
DrawXY1( 1,50,50,expr,color='r', label='ln(x)',plt = plt, arrow = False)
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()
（2）
当 0 当 p>1时 1} 0 - frac{1}{-p+1} = frac{1}{p-1}" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cinfty%5E%7B-p+1%7D%7D%7B-p+1%7D%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B-p+1%7D%20%5Crightarrow_%7Bp%3E1%7D%200%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B-p+1%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bp-1%7D" /> 当 , 如果 f(x) 和 g(x) 相似（） .....（means） ， 此时 （ a 取一个很大的值 ）同时收敛或同时发散 结果是发散的，所以可以忽略有限的 ， 这里不考虑 是因为这个式子是发散的和原式()同条件下的结果有很大的不同。 (1" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%3E1" />， 由例3结论 ) 得出结论这个积分是收敛的 函数图形 这个图形 根据y轴对称 做个比较 当 所以有 由 ， 是收敛的 可知 是收敛的 9、反常积分的第二种类型 一般这些积分还是可以直接计算得到它们是收敛还是发散，但是老师提到了一个不一样的例子 错误 错误 而函数 在(-1,1)区间的图形是这样的 我个人觉得，这里不能直接计算这个积分，是因为在-1 到1 的范围内 x=0处是奇点 ， 函数不连续。 个人觉得应该是这样计算，由于这个函数在y轴对称， （3）结论：式子 ， 当 时是发散的，而当 p >1 时是收敛的（ ）
5、极限的比较
6、例4
7、例5
8、例2 - 续
expr = np.e**(-x**2)
DrawXY1( -5,5,50,expr,color='r',label= '',plt = plt, arrow = False)
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()
expr = 1/(x**2)
DrawXY1( -1,-0.1,50,expr,color='r',label= '',plt = plt, arrow = False)
DrawXY1( 0.1,1,50,expr,color='r',label= '',plt = plt, arrow = False)
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()
