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文章目录概述
- 概述
- 计算公式
- ① 二维平面上的欧式距离
- ② 三维空间上的欧式距离
- ③ n维空间上的欧式距离
欧式距离，也称为 欧几里得距离，是我们从小学、初中、高中等等乃至现在都会用到的距离度量。
“两点之间线段最短” 大家都学过吧，这里只不过给换了一个高大上的英文名字，就是我们在小初高等试卷上计算距离的那个公式
计算公式 ① 二维平面上的欧式距离假设 二维平面 内有两点： a ( x 1 , y 1 ) a(x_{1},y_{1}) a(x1,y1) 与 b ( x 2 , y 2 ) b(x_{2},y_{2}) b(x2,y2)
则二维平面的距离公式为：
d 12 = ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 d_{12}=sqrt{(x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2} d12=(x1−x2)2+(y1−y2)2
举个例子，就比如上图的
A
(
2
,
2
)
A(2,2)
A(2,2) 与
B
(
6
,
6
)
B(6,6)
B(6,6) 两点，计算
A
B
AB
AB 两点的距离为：
d
A
B
=
(
6
−
2
)
2
+
(
6
−
2
)
2
=
4
2
+
4
2
=
4
2
begin{aligned} d_{AB} &=sqrt{(6-2)^2+(6-2)^2}\ &=sqrt{4^2+4^2}\ &= 4sqrt{2} end{aligned}
dAB=(6−2)2+(6−2)2
=42+42
=42
假设 三维空间 内有两点： a ( x 1 , y 1 , z 1 ) a(x_{1},y_{1},z_{1}) a(x1,y1,z1) 与 b ( x 2 , y 2 , z 2 ) b(x_{2},y_{2},z_{2}) b(x2,y2,z2)
则三维空间的距离公式为：
d 12 = ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 + ( z 1 − z 2 ) 2 d_{12}=sqrt{(x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2+(z_{1}-z_{2})^2} d12=(x1−x2)2+(y1−y2)2+(z1−z2)2
举个例子，比如上图的 A ( 0 , 0 , 4 ) A(0,0,4) A(0,0,4) 与 B ( 0 , 2 , 0 ) B(0,2,0) B(0,2,0) 两点，计算 A B AB AB 两点的距离为：
d A B = ( 0 − 0 ) 2 + ( 0 − 2 ) 2 + ( 4 − 0 ) 2 = 0 + 4 + 16 = 2 5 begin{aligned} d_{AB} &=sqrt{(0-0)^2+(0-2)^2+(4-0)^2}\ &=sqrt{0+4+16}\ &= 2sqrt{5} end{aligned} dAB=(0−0)2+(0−2)2+(4−0)2 =0+4+16 =25
③ n维空间上的欧式距离假设 n维空间 内有两点： a ( x 11 , x 12 , . . . , x 1 n ) a(x_{11},x_{12},...,x_{1n}) a(x11,x12,...,x1n) 与 b ( x 21 , y 22 , . . . , z 2 n ) b(x_{21},y_{22},...,z_{2n}) b(x21,y22,...,z2n)
则n维空间的距离公式为：
d 12 = ∑ k = 1 n ( x 1 k − x 2 k ) 2 d_{12}=sqrt{sum_{k=1}^n(x_{1k}-x_{2k})^2} d12=k=1∑n(x1k−x2k)2
同理，n 维空间也是，将对应的向量作以上运算即可。（n 维的画不出来，需要用其他形式表示，就像下图一样）。
