[损失函数]：损失函数的整理

交叉熵损失函数：

在二分类问题中，该函数通常对应：

其中 y i y_{i} yi​表示样本i的标签，正确为1，错误为0. p i p_{i} pi​表示样本i预测为正确的概率。

交叉熵损失函数常被用于分类任务中，由于交叉熵涉及到计算每个类别的概率，所以交叉熵几乎每次都和sigmoid(或softmax)函数一起出现。将神经网络最后一层的输出通过Softmax方法转换为概率分布再与真实类别的 one-hot 形式进行交叉熵的计算。

使用pytorch来计算：

import torch
import torch.nn as nn

batch = 2
num_class = 4

logits = torch.randn(batch,num_class)
target = torch.randint(num_class,size=(batch,))
print(logits)
print('target',target)
ce_loss_fn = torch.nn.CrossEntropyLoss()
ce_loss_fn(logits,target)

tensor([[ 0.0500, -0.6461,  0.9130, -0.0553],
        [-0.3201,  1.5033,  0.2070,  1.8456]])
target tensor([0, 0])
tensor(2.2152)

手算：

m =  nn.Softmax(dim=1)
logits2 = m(logits)
logits2 #tensor([[0.2097, 0.1045, 0.4970, 0.1887],
        #[0.0568, 0.3517, 0.0962, 0.4953]])
(-torch.log(torch.tensor([0.2097]))-torch.log(torch.tensor([0.0568])))/2  #tensor([2.2151])

随即生成2个batch的数据，共有4类标签，对应的标签都是0这个类别，将最后一层的输出进行softmax转换，得到的概率分布为logits2，由于对应的都是类别0，所以取第一个的概率计算即可。

在概率论中，概率是一个事件发生的可能性，而似然指的是影响概率的未知参数。也就是说，概率是在该未知参数已知的情况下所得到的结果；而似然是该参数未知，我们需要根据观察结果，来估计概率模型的参数。
最大似然估计就是要使得根据目前已经有的数据X，来估计参数，使得在这个参数下出现X的概率值最大。通常似然函数具有如下这个形式：

通过取对数的方式可以将连续的乘法转换为加法：

之后就是寻找一个合适的 θ theta θ来使得上面这个式子取到最大值，由于上面的每一项都是小于0的，可以再添加一个负号，就得到了负对数似然函数：

与上面的交叉熵损失函数相比，这一损失函数在每一项前面少了一个p，但是因为这些都是已经发生的观测样本，所以事实上p都是1.

m =  nn.Softmax(dim=1)
loss = torch.nn.NLLLoss()
input = torch.tensor([[ 0.1076, -1.4376, -0.6307,  0.6451, -1.5122],
        [ 1.5105,  0.7662, -1.7587, -1.4581,  1.1357],
        [-1.4673, -0.5111, -0.0779, -0.7404,  1.4447]], requires_grad=True)
target = torch.tensor([1, 0, 4])

output = loss(m(input), target) #tensor(1.3537)

torch.log(m(input))
#tensor([[-1.2812, -2.8264, -2.0195, -0.7437, -2.9010],
        #[-0.8118, -1.5561, -4.0810, -3.7804, -1.1866],
        #[-3.3349, -2.3787, -1.9455, -2.6080, -0.4229]], grad_fn=)

按照target给出的索引选取