本文内容来自于学习麻省理工学院公开课：单变量微积分-不定型和洛必达法则 -网易公开课

Bullseye：第一单元 用python学习微积分（一） 安装开发环境Anaconda 和 导数（上）- 1/x的导数

目录

一、洛必达法则 （L' Hopital's Rule）

1、介绍

2、例一

（1） 原做法

（2）洛必达法则

3、洛必达法则 版本一

（1）

（2） 右极限(rhs)必须存在

4、例2

5、例3

6、与近似方法的比较

（1）在例2中

（2） 在例3中

7、例4

8、例5

9、例5’

10、例6

11、不定式 零的零次幂

12、例7

13、例8

一、洛必达法则 （L' Hopital's Rule）

1、介绍

洛必达法则是一种便捷的方式去计算无限包括一些新发现的

例如：

2、例一

（1） 原做法

设

当

设

当

所以有

（2）洛必达法则

当 ( 仅当)

3、洛必达法则 版本一

上式成立前提条件是：

（1）

（2） 右极限(rhs)必须存在

同样允许

右极限(rhs) 存在某个值或等于

这个法则适用于 或者 的情况

4、例2

5、例3

6、与近似方法的比较

复习下近似函数

（1）在例2中

（2） 在例3中

7、例4

当

import numpy as np 
from sympy import *
import matplotlib.pyplot as plt 
figure, ax= plt.subplots( 1 ) 
ax.set_aspect( 1 ) 
def DrawXY1(xFrom,xTo,steps,expr,color,label,plt, arrow =False):
    yarr = []
    xarr = np.linspace(xFrom ,xTo, steps) 
    for xval in xarr:
        #print(expr.subs(x,xval), xval)
        yval = expr.subs(x,xval)
        yarr.append(yval)
    y_nparr = np.array(yarr) 
    x_nparr = np.array(xarr) 
    length = len (xarr)
    
    plt.plot(x_nparr, y_nparr, c=color, label=label)  
    if(arrow and steps > 2):
        plt.arrow(float(x_nparr[0]),float( y_nparr[0]),float( x_nparr[2]-x_nparr[0]),float( y_nparr[2]-y_nparr[0]), width=.02, color = color) 
        
def DrawXY(tFrom,tTo,steps,exprX,exprY, color,label,plt, arrow =False):
    xarr = []
    yarr = []
    tarr = np.linspace(tFrom ,tTo, steps) 
    for tval in tarr:
        xval = exprX.subs(t,tval)
        xarr.append(xval)
        yval = exprY.subs(t,tval)
        yarr.append(yval)
    y_nparr = np.array(yarr) 
    x_nparr = np.array(xarr) 
    length = len (xarr)
    
    plt.plot(x_nparr, y_nparr, c=color, label=label)  
    if(arrow and steps > 2):
        plt.arrow(float(x_nparr[0]),float( y_nparr[0]),float( x_nparr[2]-x_nparr[0]),float( y_nparr[2]-y_nparr[0]), width=.02, color = color) 


x = symbols('x')
expr = ln(x)

DrawXY1( 0.1,4,50,expr,color='c', label='ln(x)',plt = plt, arrow = True)
expr = 1/x
DrawXY1( 0.1,4,50,expr,color='r', label='1/x',plt = plt, arrow = True)

plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

​

 

当, 而 更快的接近

8、例5

x 增长比 慢

9、例5’

结论是当p>0时，增长的比x的任何次幂都快

 

x = symbols('x')
p = 0.001
expr = np.e**(p*(1/x))
expr1 =(1/x)**100

print(expr.subs(x, 0.00000001))
print(expr1.subs(x,0.00000001))
2.80666336041120e+43429
9.99999999999998e+799

10、例6

lnx 增长慢于x的任意次幂， 当x趋于

11、不定式 零的零次幂

解决这类问题需要用到移动的指数底e

由例6

12、例7

这一步不能使用洛必达法则，因为cos(0) = 1

13、例8

当遇到类似 时，可以直接考虑为