数据结构之平衡二叉树详解

平衡二叉树（balanced binary tree)

又称AVL树（Adelson-Velskii and Landis)

一棵平衡二叉树或者是空树，或者是具有下列性质的二叉排序树：

        １，左子树与右子树的高度之差的绝对值小于等于１；

        ２，左子树和右子树也是平衡二叉排序树．

为了方便起见，给每个结点附加一个数字，给出该结点左子树与右子树的高度差．这个数字称为结点的平衡因子（ＢＦ）．

平衡因子　＝　结点左子树的高度　－　结点右子树的高度

根据平衡二叉树的定义，平衡二叉树上所有结点的平衡因子只能是-1,0,或1.

例：

对于一棵有n个结点的AVL树，其高度保持在O(log2^n)数量级

        当我们在一个平衡二叉排序树上插入一个结点时，有可能导致失衡，不再是一个平衡二叉排序树，即出现平衡因子绝对值大于１的结点．

 如果在一棵ＡＶＬ树中插入一个新结点后造成失衡，则必须重新调整树的结构，使之恢复平衡

平衡调整的四种类型：

具体的调整为：

调整原则为：１）降低高度　２）保持二叉排序树的性质

规律：按照二叉排序树的性质，挑选３个值的中间值作为调整后的根结点，最小值为根结点的左孩子，最大值为根结点的右孩子． 

例：ＬＬ型

例：ＲＬ型

ＲＲ型和ＬＲ型和上面类似，就不多介绍了，总之，一个总的原则，就是调整后必须保证１）降低高度　２）保持二叉排序树的性质

还是那句话，只要知道调整类型，就可以确定Ａ，Ｂ，Ｃ三个顶点的位置，中间值为根结点，最大值为右孩子，最小值为左孩子，确定好后，别的结点就很容易根据二叉排序树的特点找到各自的位置，网上看了很多左旋，右旋，左右旋，头都晕．只要知道这个规律，不用管什么旋，也不用死记硬背还怕忘．随时碰到随时都可以马上上手．

接下来用代码来实现一个平衡二叉树的建立：

例题：输入关键字序列(16,3,7,11,9,26,18,14,15),创建一个平衡二叉树

第一个方法是给结点加了一个parent域，方便查找，不过感觉挺麻烦的，每次调整都要给parent域赋值，不过这个代码在有多个失衡点时会挑选最小代价树的失衡点，不管失衡点是不是根结点都是通用的

#include 
#include 
#define MAXINT 10000
#define MAXSIZE 10
typedef struct BBTnode{
    int data;//这里为了方便，直接用int,没有用结构体．
    int balance;//平衡因子
    struct BBTnode* lchild;
    struct BBTnode* rchild;
    struct BBTnode* parent;
}BBTnode,*BBTree;
BBTree MinBalance;//最小失衡结点地址
int k = 0;
int i = 0;
BBTree SearchBBT(BBTree T, int m, char* arr)//计算从某点出发，到指定数字的路径
{
    if(!T || T->data == m)
    {
        return T;
    }
    else if(m < T->data)
    {
        arr[k++] = 'L';
        return SearchBBT(T->lchild, m, arr);
    }
    else
    {
        arr[k++] = 'R';
        return SearchBBT(T->rchild, m, arr);
    }

}

int CountNodes(BBTree T)//计算树中的结点数，比较失衡结点树的大小，选择较小的树（当不止一个失衡点时）
{
    if(!T)
    {
        return 0;
    }
    return CountNodes(T->lchild) + CountNodes(T->rchild) + 1;
}

int DepthBBT(BBTree T)//计算平衡二叉树的深度
{
    int m, n;
    if(!T)
    {
        return 0;
    }
    else
    {
        m = DepthBBT(T->lchild) + 1;//左边的深度
        n = DepthBBT(T->rchild) + 1;//右边的深度
    }
    if(m > n)return m;//取较大值
    else return n;
}


void OrderBBT(BBTree* T, BBTree Unbalance[MAXSIZE])//中序遍历二叉排序树,更新各结点平衡因子，把所有失衡点存储起来
{
    if(*T == NULL)return;
    else
    {
        OrderBBT(&(*T)->lchild,Unbalance);
        (*T)->balance = abs(DepthBBT((*T)->lchild) - DepthBBT((*T)->rchild));//计算该结点平衡因子，左边深度－右边深度再取绝对值
        if((*T)->balance>1)
        {
            Unbalance[i++] = *T;
        }
        OrderBBT(&(*T)->rchild,Unbalance);
    }
}

void AddBBT(BBTree* T, int m, BBTree parent)//二叉排序树的递归添加元素
{
    if(!(*T))
    {
        *T = malloc(sizeof(BBTnode));
        (*T)->data = m;
        (*T)->lchild = NULL;
        (*T)->rchild = NULL;
        (*T)->balance = 0;
        (*T)->parent = parent;
    }
    else if(m < (*T)->data)
    {
        AddBBT(&(*T)->lchild, m, *T);
    }
    else
    {
        AddBBT(&(*T)->rchild, m, *T);

    }
}


void creatBBT(BBTree* T)//创建平衡二叉排序树，实际上就是给一个空树添加元素
{
    int input = 1;
    BBTree A,B,C;//定义图示中表示的三个顶点
    while(input)
    {
        printf("请依次输入数字序列，输入完毕以0结束:>");
        scanf("%d",&input);
        if(input == 0)break;
        AddBBT(T, input,*T);
        MinBalance = 0;//重置最小平衡因子为空
        int temp = MAXINT;
        int j;
        BBTree Unbalance[MAXSIZE] = {0};//定义一个失衡结点数组，用来存放当前树中存在的失衡结点
        i = 0;//重置数组Unbalance的下标为0开始
        OrderBBT(T,Unbalance);//更新平衡因子，得到平衡因子数组Unbalance
        for(j = 0; j < MAXSIZE; j++)//从数组Unbalance找出最小失衡因子，并返回该地址到MinBalance
        {
            if(!Unbalance[j])break;
            if(CountNodes(Unbalance[j]) < temp)
            {
                temp = CountNodes(Unbalance[j]);
                MinBalance = Unbalance[j];
            }
        }
        char ChoiceType[MAXSIZE] = {0};//选择调整类型的数组（ＬＬ，ＲＲ．ＬＲ，ＲＬ）
        k = 0;//重置SearchBBT里的k变量
        SearchBBT(MinBalance, input, ChoiceType);//得到从失衡点出发到添加结点间的路径
        if(ChoiceType[0] == 'L' && ChoiceType[1] == 'L')//ＬＬ型调整
        {
            A = MinBalance;
            B = MinBalance->lchild;
            C = MinBalance->lchild->lchild;
            if(A->parent)//如果这个失衡点不是根结点
            {
                if(A->data < A->parent->data)A->parent->lchild = B;
                else A->parent->rchild = B;
            }
            else *T = B;

            A->lchild = B->rchild;
            if(B->rchild)B->rchild->parent = A;
            B->rchild = A;
            B->parent = A->parent;
            A->parent = B;

        }
        else if(ChoiceType[0] == 'R' && ChoiceType[1] == 'R')//ＲＲ型调整
        {
            A = MinBalance;
            B = MinBalance->rchild;
            C = MinBalance->rchild->rchild;
            if(A->parent)//如果这个失衡点不是根结点
            {
                if(A->data < A->parent->data)A->parent->lchild = A->rchild;
                else A->parent->rchild = A->rchild;
            }
            else *T = B;//如果是根结点，那么根结点变成调整后的根结点
            A->rchild = B->lchild;
            if(B->lchild)B->lchild->parent = A;
            B->lchild = A;
            B->parent = A->parent;
            A->parent = B;



        }
        else if(ChoiceType[0] == 'L' && ChoiceType[1] == 'R')//ＬＲ型调整
        {
            A = MinBalance;
            B = MinBalance->lchild;
            C = MinBalance->lchild->rchild;
            if(A->parent)//如果这个失衡点不是根结点
            {
                if(A->data < A->parent->data)A->parent->lchild = C;
                else A->parent->rchild = C;
            }
            else *T = C;
            B->rchild = C->lchild;
            if(C->lchild)C->lchild->parent =B;
            A->lchild = C->rchild;
            if(C->rchild)C->rchild->parent = A;
            C->rchild = A;
            C->lchild = B;
            C->parent = A->parent;
            A->parent = C;
            B->parent = C;

        }
        else if(ChoiceType[0] == 'R' && ChoiceType[1] == 'L')//ＲＬ型调整
        {
            A = MinBalance;
            B = MinBalance->rchild;
            C = MinBalance->rchild->lchild;
            if(A->parent)//如果这个失衡点不是根结点
            {
                if(A->data < A->parent->data)A->parent->lchild = C;
                else A->parent->rchild = C;
            }
            else *T = C;
            A->rchild = C->lchild;
            if(C->lchild)C->lchild->parent = A;
            B->lchild = C->rchild;
            if(C->rchild)C->rchild->parent = B;
            C->lchild = A;
            C->rchild = B;
            C->parent = A->parent;
            A->parent = C;
            B->parent = C;
        }
    }
    BBTree arr[MAXSIZE] = {0};//这个只为为了下面这个OrderBBT函数能运行，没有别的意义
    OrderBBT(T,arr);
}
void printBBT(BBTree T)//中序输出二叉排序树，得到的是一个递增数列
{
    if(T == NULL)return;
    else
    {
        printBBT(T->lchild);
        printf("%d号结点平衡因子为%dn",T->data,T->balance);
        printBBT(T->rchild);
    }
}

int main()
{
    BBTree T = NULL;//定义二叉排序树Ｔ
    creatBBT(&T);//创建二叉排序树
    printBBT(T);//输出创建好的二叉排序树
    return 0;
}