数据结构与算法之二叉排序树

• 定义
• • 二叉排序树的查找
  • 二叉排序树的插入
  • 二叉排序树的构造
  • 二叉排序树的删除
• 总结：

二叉排序树，又称二叉查找树 (BST)
一颗二叉树或者空二叉树，或者是具有如下性质的二叉树：

1. 左子树上所有的结点的关键字均小于根节点的关键字。
2. 右子树上所有的结点的关键字均大于根节点的关键字。
3. 左子树和右子树有各是一颗二叉排序树。

左子树结点值<根节点<右子树结点值
进行中序遍历，可以得到一个递增的有序序列
因此二叉排序树可用于元素的有序组织、搜索

左子树结点值<根节点值<右子树结点值
若树非空，目标值与根节点的值比较：

• 若相等，则查找成功。
• 若小于根节点，则在左子树上查找，否则在右子树上查找。
  查找成功，返回结点指针；查找失败返回 NULL

#include "stdio.h"  
#include "stdlib.h"  
#include "stdbool.h"  
  
typedef struct BSTNode {  
    int key;  
    struct BSTNode *lChild;  
    struct BSTNode *rChild;  
} BSTNode, *BSTree;  


BSTNode *BST_Search(BSTree T, int key) {  
    while (T != NULL && key != T->key) {//若树空或等于根节点值，则结束循环  
        if (key < T->key) { //小于，则在左子树查找  
            T = T->lChild;  
        } else {//大于，则在右子树查找  
            T = T->rChild;  
        }  
    }    return T;  
}

BSTNode *BST_Search(BSTree T, int key) {  
    if (T == NULL) {  
        return NULL;  
    }  
    if (key==T->key) {  
        return T;  
    }  
    if (key>T->key) {  
        BST_Search(T->rChild, key);  
    }  
    if (keykey) {  
        BST_Search(T->lChild, key);  
    }  
    return NULL;  
}

若原二叉排序树为空，则直接插入结点；否则，若关键字 k 小于根节点值，则插入到左子树，若关键字 k 大于根节点值，则插入到右子树。

int BSt_Insert(BSTree *T, int k) {  
    if (*T == NULL) {  
        BSTree cur = (BSTree) malloc(sizeof(BSTNode));  
        cur->key = k;  
        cur->rChild = NULL;  
        cur->lChild = cur->rChild;  
        (*T) = cur;  
        return 0;  
    }  
    BSTree tree = *T;  
    if (k == tree->key) {//存在相同结点，插入失败  
        return -1;  
    }  
    if (k > tree->key) {//大于，右子树去找  
        struct BSTNode *rChild = (*T)->rChild;  
        return BSt_Insert(&rChild, k);  
    } else {//小于，左子树去找  
        struct BSTNode *lChild = (*T)->lChild;  
        return BSt_Insert(&lChild, k);  
    }  
}

按照数组依次构建二叉排序树 (使用上面 二叉排序树的插入来实现)

注意：不同关键字序列可能得到同款二叉排序树

void Create_BST(BSTree *T, int *arr, int length) {  
    (*T) = NULL;  
    int i = 0;  
    while (i < length) {  
        BST_Insert(T, arr[i]);  
        i++;  
    }  
  
}

1. 先 搜索 找到目标结点:
   1. 若被删除结点 z 是叶子节点，则直接删除，不会破坏二叉排序树的性质
   2. 若结点 z 只有一颗左子树或右子树，则让 z 的子树成为 z 父节点的子树，替代 z 的位置
   3. 若结点 z 有左右两颗子树，则令 z 的直接后继 (或直接前驱) 替代 z，然后从二叉排序树中删去这个直接后继 (或直接前驱)，这样就转换成了第一或第二种情况。
      1. 使用直接后继来替换 z 结点
         1. z 的后继：z 的右子树最左下结点 (该节点一定没有左子树)
      2. 使用直接前驱来替换 z 结点
         1. z 的前驱：z 的左子树最右下结点 (该节点一定没有右子树)

二叉排序树的中序遍历是有序的，且为升序。