熵权法是通过寻找数据本身的规律来赋权重的一种方法。
熵是热力学单位，在数学中，信息熵表示事件所包含的信息量的期望。根据定义，对于某项指标，可以用熵值来判断某个指标的离散程度，其熵值越小，指标的离散程度越大，该指标对综合评价的影响（权重）越大。
熵本源于热力学，后由申农（C. E. Shannon）引入信息论，根据熵的定义与原理，当系统可能处于几种不同状态，每种状态出现的概率为
p
i
(
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
m
)
p_i(i=1,2,...,m)
pi(i=1,2,...,m)，则该系统的熵就可定义
e
=
−
1
l
n
m
∑
i
=
1
m
p
i
l
n
p
i
.
e=-frac{1}{lnm}sum^m_{i=1}p_ilnp_i.
e=−lnm1i=1∑mpilnpi.
熵权法是一种客观赋权方法。在具体使用过程中，熵权法根据各指标的变异程度，利用信息熵计算出各指标的熵权，从而得出较为客观的指标权重。
请根据下表给出的10个学生8门课的成绩，给出这10个学生评奖学金的评分排序。
表1：学生成绩表
设有 n n n个评价对象， m m m个评价指标变量，第 i i i个评价对象关于第 j j j个指标变量的取值为 a i j ( i = 1 , 2 , . . , n ; j = 1 , 2 , . . , m ) a_{ij}(i=1,2,..,n;j=1,2,..,m) aij(i=1,2,..,n;j=1,2,..,m)，构造数据矩阵 A = ( a i j ) n × m A=(a_{ij})_{ntimes m} A=(aij)n×m。
基于熵权法的评价方法步骤如下：
(1)利用原始数据矩阵
A
=
(
a
i
j
)
n
×
m
A=(a_{ij})_{ntimes m}
A=(aij)n×m计算
p
i
j
(
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
,
j
=
1
,
2
,
.
.
.
,
m
)
p_{ij}(i=1,2,...,n,j=1,2,...,m)
pij(i=1,2,...,n,j=1,2,...,m)，即第
i
i
i个评价对象关于第
j
j
j个指标值的比重
P
i
j
=
a
i
j
∑
i
=
1
n
a
i
j
,
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
,
j
=
1
,
2
,
.
.
.
,
m
P_{ij}=frac{a_{ij}}{sum^n_{i=1}a_{ij}},i=1,2,...,n,j=1,2,...,m
Pij=∑i=1naijaij,i=1,2,...,n,j=1,2,...,m
（2）计算第
j
j
j项指标的熵值
e
j
=
−
1
l
n
n
∑
i
=
1
1
P
i
j
l
n
P
i
j
,
j
=
1
,
2
,
.
.
.
,
m
e_j=-frac{1}{lnn}sum^{1}_{i=1}P_{ij}lnP_{ij},j=1,2,...,m
ej=−lnn1i=1∑1PijlnPij,j=1,2,...,m
（3）计算第
j
j
j项指标的变异系数
g
j
=
1
−
e
j
,
j
=
1
,
2
,
.
.
.
,
m
g_j=1-e_j,j=1,2,...,m
gj=1−ej,j=1,2,...,m
对于第
j
j
j项指标，
e
j
e_j
ej越大，指标值的变异程度就越小。
（4）计算第
j
j
j项指标的权重
w
j
=
g
j
∑
j
=
1
m
g
j
,
j
=
1
,
2
,
.
.
.
,
m
w_j=frac{g_j}{displaystyle sum^m_{j=1}g_j},j=1,2,...,m
wj=j=1∑mgjgj,j=1,2,...,m
（5）计算第
i
i
i个评价对象的综合评价值
F
i
=
∑
j
=
1
m
w
j
p
i
j
F_i=sum^m_{j=1}w_jp_{ij}
Fi=j=1∑mwjpij
评价值越大越好。
指标变量
x
1
、
x
2
、
.
.
.
、
x
8
x_1、x_2、...、x_8
x1、x2、...、x8分别表示学生的语文、数学、物理、化学、英语、政治、生物、历史成绩。用
a
i
j
a_{ij}
aij表示第
i
i
i个学生关于指标变量
x
j
x_j
xj的取值，构造数据矩阵
A
=
(
a
i
j
)
10
×
8
A=(a_{ij})_{10times 8}
A=(aij)10×8。
利用Python程序，求得的各指标变量的权重值见表2，各个学生的综合评价值及排名次序见表3。各个学生评价值从高到低的次序为:
9 1 3 7 6 5 4 10 8 2.
表3 :学生的综合评价值及排名次序
运行结果：
四、实现代码
#完整代码：
import numpy as np
import pandas as pd
data = pd.read_excel('stu_data.xlsx') #读取原始数据
label_need=data.keys()[1:]
df=data[label_need]
a=np.array(df)
[n, m]=a.shape
cs=a.sum(axis=0) #逐列求和
P=1/cs*a #求特征比重矩阵
e=-(P*np.log(P)).sum(axis=0)/np.log(n) #计算熵值
g=1-e #计算差异系数
w = g / sum(g) #计算权重
F = P @ w #计算各对象的评价值
print("nP={}ne={}ng={}nw={}nF={}".format(P,e,g,w,F))
print('各个学生评价值从高到低的次序为:')
print(np.argsort(-F)+1)
