Tarjan算法

还记得无向图判连通块吗？对于无向图中，判连通块是一件很容易的事。你只需要dfs(深度优先搜索)一下就可以了。但是，如果我们把无向图换成有向图呢？

这就是另一个故事了…

Robert Tarjan计算机科学家，以LCA,Tarjan等算法闻名。Tarjan是求强连通分量的一个强力的算法。

要理解Tarjan这个算法，我们先讲几个定义：

强连通分量 :

对于一个分量，若任意两个点相通，则称为强连通分量。

树边 :

对于一个图的dfs树，它的树边便是此图的树边。

返祖边 :

对于一个图的dfs树，可以使得儿子节点返回到它的祖先的边为返祖边。

横插边 :

对于一个图的dfs树，可以使得一个节点到达另一个节点且它们互不是祖先的边为横插边。

神奇海螺结束！

先讲一下我们要用到的数组。

• dfn:第 i i i个节点他的时间戳

• low:第 i i i个节点他最多经过一条返祖边所能到达的最小时间戳

• st:一个栈,用来储存当前还未确定但已经扩展过的点

• co:第 i i i个节点他所在的强连通分量编号

我们讲一下算法流程。

1. 此时来到了点 u u u

2. 扩展他的子节点，这里假设现在到的子节点为 v v v,扩展完了就来到第 5 5 5步

3. 三种情况：

   • !dfn[v],即还未扩展的点，则我们直接来到第 4 4 4步
   • !co[v]&& dfn[v],即还未出栈但已扩展过的点(就是返祖/横叉了嘛)，我们更新一下 l o w u = min ⁡ ( l o w u , d f n v ) low_u = min(low_u, dfn_v) lowu​=min(lowu​,dfnv​),并返回第 2 2 2步。(看不懂的感性理解一下)
   • co[v] && dfn[v],即已出栈且遍历过，那么我们直接返回第 2 2 2步

4. 我们先对 v v v这个顶点扩展一下(即返回第 1 1 1步),然后把 l o w u = min ⁡ ( l o w u , l o w v ) low_u = min(low_u, low_v) lowu​=min(lowu​,lowv​)更新一下，接着回到第 2 2 2步

5. 如果 d f n u = l o w u dfn_u = low_u dfnu​=lowu​,这说明 u u u没有返祖边,它拥有属于自己的一棵子树，而此时栈中的点又一定能到 u u u(要不然就被弹掉了)，所以此时我们只需要弹栈就可以了！

6. 我们已经完成了所有操作，可以回溯到第 1 1 1步了

先放一道模板题 : CF427C Checkposts

这题是一道赤裸裸的强连通分量，晾一下代码。

# include 
using namespace std;

# define ll long long
# define lf double
# define GO(i,a,b) for(int i = a; i <= b; i ++)
# define RO(i,b,a) for(int i = b; i >= a; i --)
# define FO(i,u,head,e) for(int i = head[u]; i; i = e[i].next)
# define CI const int
# define pii pair
# define MP(a,b) make_pair(a,b)
# define PB(x) push_back(x)
# define mem(a,x) memset(a, x, sizeof a)
# define F first
# define S second

CI maxn = 1e5 + 7;
CI maxm = 3e5 + 7;
CI mod = 1e9 + 7;

int n, m;

struct Edge{
	int u, v, next;
}e[maxm];

int head[maxn], cnt;

void add(int u, int v){
	e[++ cnt].u = u;
	e[cnt].v = v;
	e[cnt].next = head[u];
	head[u] = cnt;
}

int dfn[maxn];
int low[maxn];
int vis[maxn]; // 0未访问, 1在栈中, 2已访问 
int tar[maxn]; // 连通分量 
int col;

int tmp;

stack  q;

void Tarjan(int u){
	q.push(u);
	vis[u] = 1; // 在栈中 
	low[u] = dfn[u] = ++ tmp;
	FO (i, u, head, e){
		int v = e[i].v;
		if (vis[v] == 2)
			continue;
		if (dfn[v])
			low[u] = min  (low[u], dfn[v]);
		else{
			Tarjan(v);
			low[u] = min  (low[u], low[v]);
		}
	}
	if (dfn[u] == low[u]){
		int v = q.top();
		q.pop();
		col ++;
		while (!q.empty() && v != u){
			vis[v] = 2;
			tar[v] = col;
			v = q.top();
			q.pop();
			
		}
		vis[u] = 2;
		tar[u] = col;
	}
}

vector  poi[maxn];

ll a[maxn];

int main(){
	cin >> n;
	GO (i, 1, n)
		scanf("%lld", &a[i]);
	cin >> m;
	GO (i, 1, m){
		int u, v;
		scanf("%d %d", &u, &v);
		add(u, v);
	}
	
	GO (i, 1, n)
		if (!vis[i])
			Tarjan(i);
	
	GO (i, 1, n)
		poi[tar[i]].PB(i);
	
	ll ans1 = 1, ans2 = 0;
	GO (i, 1, col){
		ll minn = 2e18;
		ll res = 0;
		for (int j : poi[i])
			minn = min  (minn, a[j]);
		for (int j : poi[i])
			if (a[j] == minn)
				res ++;
		ans2 += minn;
		ans1 = (ans1 * res) % mod;
	} 
	
	printf("%lld %lld", ans2, ans1);
	return 0;
}

没啥好说的……

这次是因为有一道题要用Tarjan,差点裂开来了，纪念一下。

文章不好勿喷呀~ 毕竟人家是蒟蒻吗~~