爬楼梯问题-斐波那契数列优化

​ 斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…自然中的斐波那契数列这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。即为An=1当n=1，n=2，An=A(n-1)+A(n-2)，n>3;

​ 假设有N层楼梯,你可以选择一次走一阶或者一次走两阶,那么可以有多少种不同的走法走完这N阶楼梯?

​ 显然当N=1时只有一种情况,N=2时有两种情况(一次一阶走两次和一次两阶走一次),当N=3时显然走3阶楼梯可以分为:走一阶楼梯有多少种走法的问题和走两阶楼梯有多少种走法的问题即为A3=A2+A1;以此类推,当有N阶楼梯时A(n)=A(n-1)+A(n-2);A(n)即为要求的结果。

C语言代码实现:

//第一种方法:优点:便于理解和实现; 缺点:时间复杂度高
//利用递归的方法,在N=1,2时返回相应的走法,在N>3时不断调用原函数将问题拆分为子问题;
int climbStairs(int n){
    if(n==1){
        return 1;
    }else if(n==2){
        return 2;
    }else{
        return climbStairs(n-1)+climbStairs(n-2);
    }
}//这种写法可以求得结果,但放在Leetcode超时,可以选择优化

//第二种方法:
//递推的方法,利用循环体
int climbStairs(int n){
    if(n==1){
        return 1;
    }else if(n==2){
        return 2;
    }else{
     int rs=0;//结果初始化为0;
     int pre=1;//pre变量开始为1,代表一阶楼梯问题的总情况
     int prepre=2;//prepre变量开始为2,代表二阶楼梯问题的总情况
     for(int i=3;i<=n;i++){
        rs=pre+prepre;//3阶楼梯问题所有情况为前面两个问题情况的和
        pre=prepre;//1->2
        prepre=rs;//2-3,求出4阶楼梯问题所需的前两项
     }
     return rs;c
    }
}

利用hashMap的特性对时间复杂度进行缩小

class Solution {
    public HashMap map=new HashMap();
    int climbStairs(int n){
	    if(n==1)return 1;
	    if(n==2)return 2;
	    if(map.get(n)!=null){
	    	return map.get(n);
	    }
	    else{	
	     int result=climbStairs(n-1)+climbStairs(n-2);
         map.put(n, result);
         return result;
	}
}
}