【题解】二进制优化的多重背包问题

题意： 裸多重背包，但是题目数据范围较大。三重循环纯朴素解法会超时。
思路：

1. 为什么会超时？ 对于每种物品，如果每次在遍历每种物品和每个体积的时候都枚举一遍物品数量，那么时间复杂度会到O(n^3)，n=1000时，计算量就到了10亿次的级别，而c++一秒只能算1亿次，所以必须考虑优化。
2. 怎么优化？ 对于每个物品如果暴力枚举所有数量会超时，那么考虑将一部分物品分组。我们可以将物品按二进制的方式进行分组：1，2，4，8，，，2^k，C。前k+1项很好理解，分别是2的0~k次方，C是什么？因为我们要通过二进制分组的方式，表达出某个物品的任意数量，那么分组之后的总和也应该等于该物品的数量，C就是该物品的总数量依次减去前k+1项后的值。
3. 为什么可以这样优化？ 首先我们必须了解一点，二进制分组的方式可以表示出所有可能，比如：1，2，4，8。是可以表示出0~15任意的一个数的。 为什么要强调这一点？因为二进制分组同样遍历了所有的可能。 那么二进制和普通的枚举区别在哪？ 二进制的遍历是在不同体积下体现的，而普通的枚举则是每种体积都会枚举一次。
   概括而言：二进制将体积的变化与物品不同数量的枚举结合在了一起。

代码：

#include
#include

using namespace std;
const int N=25000,M=2000;

int n,m;
int v[N],w[N];
int f[M];

int main()
{
    cin>>n>>m;
    int cnt=0;//表示将数据处理为01背包问题后，总物品的个数
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        int k=1;
        while(k<=c)
        {
            cnt++;
            v[cnt]=a*k;
            w[cnt]=b*k;
            c-=k;
            k*=2;
        }
        if(c)
        {
            cnt++;
            v[cnt]=a*c;
            w[cnt]=b*c;
        }
    }
    n=cnt;//总物品的数量变为cnt个

    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=m;j>=v[i];j--)
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);

    cout<