回溯法——图k-着色问题

回溯法：是一种选优搜索法，又称为试探法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法。可以简单理解为，每个结点都分为k叉，一步一步往下搜，当出现不符合条件的结点时，进行剪枝，然后回溯到上一个结点，接着访问。

 图k-着色问题（转自PTA）

图k-着色问题是一个著名的NP完全问题。给定无向图G=(V,E)和正整数k，问可否用k种颜色为V中的每个结点分配一种颜色，使得不会有两个相邻结点具有同一种颜色？
该问题的一个具体实例可能会有多个解（一个解就是一种合法的着色方案），要求计算全部解的数目。

输入格式:

输入的第一行包含三个整数N(1≤N≤20)、M(0≤M≤N(N−1)/2)和K(1≤K≤N)，分别是无向图的结点数、边数和可用颜色数。
结点从1到N编号，颜色从1到K编号。随后M行，每行给出一条边的两个端点的编号。题目保证给定的无向图是简单图（即不存在自环和多重边）。

输出格式:

输出一行表示全部解的数目（无解时输出0即可）。

输入样例:

5 7 3 
1 2 
2 3 
3 4 
4 5 
5 1 
1 3 
1 4 

输出样例:

6

代码长度限制

16 KB

时间限制

400 ms

内存限制

64 MB

AC代码：

#include
using namespace std;
int arr[21][21]={0};//邻接图 
int color[21]={0};//记录该结点的颜色
int n=0, m=0, k=0, sum=0;
void np(int step)
{
	if(step>n)
	{
		sum++;
		return;
	}
	for(int i=1; i<=k; i++)
	{
		color[step]=i;
		int flag=0;
		for(int j=1; j<=n; j++)
		{
			if(arr[step][j]==1&&color[j]==i)
			{
				flag=1;
				break;
			}
		}
		if(flag==0)np(step+1);
		color[step]=0;//要置零，当循环结束之后退回到上一步（回溯），该步的结点未被访问
	}
} 
int main()
{
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
	int a=0, b=0;
	for(int i=1; i<=m; i++)
	{
		scanf("%d%d", &a, &b);
		arr[a][b]=1;
		arr[b][a]=1;
	}
	np(1);
	printf("%d", sum);
	return 0;
} 

本题回溯法是用对应的步数来访问对应的结点，当然写成图的深度遍历也是可以的。本题需要注意的点是每次循环结束后要置零，如果不置零的话，该结点的颜色将被赋值为k，当回溯到上一步时就会产生逻辑上的错误。