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我们在博客《统计学习：逻辑回归与交叉熵损失（Pytorch实现）》中提到，设www为权值(最后一维为偏置)，样本总数为NNN，{(xi,yi)}Ni=1{(xi,yi)}Ni=1{(x_i, y_i)}_{i=1}^N为训练样本集。样本维度为DDD，xi∈RD+1x_iin mathbb{R}^{D+1}（最后一维扩充），yi∈{0,1}y_iin{0, 1}。则逻辑回归的损失函数为：
l(w)=N∑i=1[yilogπw(xi)+(1−yi)log(1−πw(xi))]mathcal{l}(w) = sum_{i=1}^{N}left[y_{i} log pi_{w}left(x_{i}right)+left(1-y_{i}right) log left(1-pi_wleft(x_{i}right)right)right]
这里
πw(x)=p(y=1∣x;w)=11+exp(−wTx)begin{aligned}
pi_w(x) = p(y=1 mid x; w) =frac{1}{1+exp left(-w^{T} xright)}
end{aligned}
写成这个形式就已经可以用诸如Pytorch这类工具来进行自动求导然后采用梯度下降法求解了。不过若需要用表达式直接计算出梯度，我们还需要将损失函数继续化简为：
l(w)=−N∑i=1(yiwTxi−log(1+exp(wTxi)))mathcal{l}(w) = -sum_{i=1}^N(y_i w^T x_i - log(1 + exp(w^T x_i)))
可将梯度表示如下：
∇wl(w)=−N∑i=1(yi−1exp(−wTx)+1)xinabla_w{mathcal{l}(w)} = -sum_{i=1}^N(y_i - frac{1}{exp(-w^Tx)+1})x_i
2. 基于Spark的并行化实现逻辑回归的目标函数常采用梯度下降法求解，该算法的并行化可以采用如下的Map-Reduce架构：
先将第tt轮迭代的权重广播到各worker，各worker计算一个局部梯度（map过程），然后再将每个节点的梯度聚合（reduce过程），最终对参数进行更新。
在Spark中每个task对应一个分区，决定了计算的并行度(分区的概念详间我们上一篇博客《Spark: 单词计数(Word Count)的MapReduce实现(Java/Python)》 )。在Spark的实现过程如下：
- map阶段： 各task运行map()函数对每个样本(xi,yi)(x_i, y_i)计算梯度gig_i， 然后对每个样本对应的梯度运行进行本地聚合，以减少后面的数据传输量。如第1个task执行reduce()操作得到˜g1=∑3i=1giwidetilde{g}_1 = sum_{i=1}^3 g_i 如下图所示：
- reduce阶段：使用reduce()将所有task的计算结果收集到Driver端进行聚合，然后进行参数更新。
在上图中，训练数据用points:PrallelCollectionRDD来表示，参数向量用ww来表示，注意参数向量不是RDD，只是一个单独的参与运算的变量。
此外需要注意一点，虽然每个task在本地进行了局部聚合，但如果task过多且每个task本地聚合后的结果（单个gradient）过大那么统一传递到Driver端仍然会造成单点的网络平均等问题。为了解决这个问题，Spark设计了性能更好的treeAggregate()操作，使用树形聚合方法来减少网络和计算延迟。
3. PySpark实现代码PySpark的完整实现代码如下：
from sklearn.datasets import load_breast_cancer
import numpy as np
from pyspark.sql import SparkSession
from operator import add
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score
n_slices = 3 # Number of Slices
n_iterations = 300 # Number of iterations
alpha = 0.01 # iteration step_size
def logistic_f(x, w):
return 1 / (np.exp(-x.dot(w)) + 1)
def gradient(point: np.ndarray, w: np.ndarray) -> np.ndarray:
""" Compute linear regression gradient for a matrix of data points
"""
y = point[-1] # point label
x = point[:-1] # point coordinate
# For each point (x, y), compute gradient function, then sum these up
return - (y - logistic_f(x, w)) * x
if __name__ == "__main__":
X, y = load_breast_cancer(return_X_y=True)
D = X.shape[1]
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(
X, y, test_size=0.3, random_state=0)
n_train, n_test = X_train.shape[0], X_test.shape[0]
spark = SparkSession
.builder
.appName("Logistic Regression")
.getOrCreate()
matrix = np.concatenate(
[X_train, np.ones((n_train, 1)), y_train.reshape(-1, 1)], axis=1)
points = spark.sparkContext.parallelize(matrix, n_slices).cache()
# Initialize w to a random value
w = 2 * np.random.ranf(size=D + 1) - 1
print("Initial w: " + str(w))
for t in range(n_iterations):
print("On iteration %d" % (t + 1))
g = points.map(lambda point: gradient(point, w)).reduce(add)
w -= alpha * g
y_pred = logistic_f(np.concatenate(
[X_test, np.ones((n_test, 1))], axis=1), w)
pred_label = np.where(y_pred < 0.5, 0, 1)
acc = accuracy_score(y_test, pred_label)
print("iterations: %d, accuracy: %f" % (t, acc))
print("Final w: %s " % w)
print("Final acc: %f" % acc)
spark.stop()
注意spark.sparkContext.parallelize(matrix, n_slices)中的n_slices就是Spark中的分区数。我们在代码中采用breast cancer数据集进行训练和测试，该数据集是个二分类数据集。模型初始权重采用随机初始化。
最后，我们来看一下算法的输出结果。
初始权重如下：
Initial w: [-0.0575882 0.79680833 0.96928013 0.98983501 -0.59487909 -0.23279241 -0.34157571 0.93084048 -0.10126002 0.19124314 0.7163746 -0.49597826 -0.50197367 0.81784642 0.96319482 0.06248513 -0.46138666 0.76500396 0.30422518 -0.21588114 -0.90260279 -0.07102884 -0.98577817 -0.09454256 0.07157487 0.9879555 0.36608845 -0.9740067 0.69620032 -0.97704433 -0.30932467]
最终的模型权重与在测试集上的准确率结果如下：
Final w: [ 8.22414803e+02 1.48384087e+03 4.97062125e+03 4.47845441e+03 7.71390166e+00 1.21510016e+00 -7.67338147e+00 -2.54147183e+00 1.55496346e+01 6.52930570e+00 2.02480712e+00 1.09860082e+02 -8.82480263e+00 -2.32991671e+03 1.61742379e+00 8.57741145e-01 1.30270454e-01 1.16399854e+00 2.09101988e+00 5.30845885e-02 8.28547658e+02 1.90597805e+03 4.93391021e+03 -4.69112527e+03 1.10030574e+01 1.49957834e+00 -1.02290791e+01 -3.11020744e+00 2.37012097e+01 5.97116694e+00 1.03680530e+02] Final acc: 0.923977
可见我们的算法收敛良好。
参考-
[1] GiHub: Spark官方Python样例
-
[2] 王树森-并行计算与机器学习(1/3)
-
[3] 刘铁岩，陈薇等. 分布式机器学习：算法、理论与时间[M]. 机械工业出版社, 2018.
-
[4] 许利杰，方亚芬. 大数据处理框架Apache Spark设计与实现[M]. 电子工业出版社, 2021.
- 1. 梯度计算式导出
-
2. 基于Spark的并行化实现
-
3. PySpark实现代码
-
参考
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