C++数据结构作业——堆排序算法的改进

记录作业题

        假设定义最大堆为满足如下性质的完全三叉树：

1. 空树为堆；
2. 每个结点最多有3棵子树，且结点的值不小于所有子树根的值，且所有子树均为最大堆。

        按上述述要求完成三叉堆的存储结构设计，再实现三叉堆的向下调整算法，最后完成利用三叉堆进行排序的算法。要求利用大数据量进行测试，同原有堆排序算法在时间上进行对比分析。

        本题算法逻辑与二叉堆代码一致，因此先放出课本上二叉堆代码。

        要注意的是，长度为n的堆中各元素的序号是从0开始，到n-1结束。因此对于序号为i的节点而言，其左孩子序号为2*i+1，右孩子序号为2*i+2。

template 
void HeapSort(ElemType elem[], int n)
// 操作结果:对数组elem进行堆排序
{
	int i;
	for (i = (n-2)/2; i >= 0; --i) // 初始建堆，将elem[0 .. n - 1]调整成最大堆
		FilterDown(elem, i, n - 1);
	for (i = n - 1; i > 0; --i)
    {  // 第i趟堆排序
		Swap(elem[0], elem[i]);
			// 将堆顶元素和当前未经排序的子序列elem[0 .. i]中最后一个元素交换
		FilterDown(elem, 0, i - 1);	// 将elem[0 .. i - 1]重新调整为最大堆
	}
}

template 
void FilterDown(ElemType elem[], int low, int high)
// 操作结果:将以low为根的子树调整成为一个最大堆
{
    int f = low, i = 2 * low + 1;
    ElemType e = elem[low];
    while (i <= high)
    {			// f为被调整结点,i为f的最大孩子
		if (i < high && elem[i] < elem[i + 1])
			i++;				// f有右孩子，且右孩子的值更大, i指向右孩子
		if (e < elem[i])
		{	// 孩子的值大于其双亲，则进行向下调整
			elem[f] = elem[i];
            f = i;
            i = 2 * f + 1;
		}
		else
            break;
	}
	elem[f] = e;
}

        对于排序部分，三叉堆与二叉堆的整体逻辑一模一样：都是将堆中具有最大关键字的元素elem[0]与堆的最后一个元素交换位置，然后调整堆中除最后一个元素以外的元素，使之成为最大堆，再将新的elem[0]与堆的最后一个元素交换位置……不断重复此过程直到将所有元素排好序。由于逻辑相同，所以只需要根据完全三叉树的性质对相应数字做修改即可，也就是在寻找最后一个分支节点i时，采取计算公式i=(n-1)/3，其余部分代码完全相同。

        三叉堆和二叉堆最大的不同之处出现在调整函数。因为三叉堆的一个根节点最多会有三个孩子，所以双亲结点与孩子结点的序号对应会有不同；在寻找被调整结点的最大的孩子时，也要比二叉堆的对应环节更加复杂。具体改变如下：

1. 对于序号为f的被调整结点，其最左边的孩子序号为3*f+1。
2. 为了找到三个孩子中关键字最大的孩子j，需要使用多重判断。如果最左边的孩子小于中间的孩子，则再比较中间的孩子与最右边的孩子，j表示后两者中较大的孩子；如果最左边的孩子大于中间的孩子且小于最右边的孩子，则j表示最右边的孩子；如果以上两种情况都不成立，则最左边的孩子为最大的孩子，j表示最左边的孩子。

经过以上分析，通过仿照二叉堆代码，得到三叉堆代码如下：

template 
void HeapSort3(ElemType elem[], int n)
{
    int i;
    for(i = (n-1)/3; i >= 0; --i)
        FilterDown3(elem, i, n - 1);
    for(i = n - 1; i > 0; --i)
    {
        Swap(elem[0], elem[i]);
        FilterDown3(elem, 0, i - 1);
    }
}

template 
void FilterDown3(ElemType elem[], int low, int high)
{
    int f = low, j = 3 * low + 1;
    ElemType e = elem[low];
    while(j <= high)
    {
        if(j < high && elem[j] < elem[j + 1])
        {
            j++;
            if(j < high && elem[j] < elem[j + 1])
                j++;
        }
        else if(j + 1 < high && elem[j] < elem[j + 2])
            j = j + 2;
        if(e < elem[j])
        {
            elem[f] = elem[j];
            f = j;
            j = 3 * f + 1;
        }
        else
            break;
    }
    elem[f] = e;
}

        用大数据量进行测试后发现，三叉堆的排序算法比原先二叉堆排序算法的速度要更快一些。分析认为这是由于在三叉堆向下调整函数的每一次循环中，比较的节点数量更多，因此将数组化为最大堆所需的循环更少，消耗的时间也就更少。