完全背包问题以及优化小技巧

题目：给定一个数组Arr，每一个元素表示一种硬币 ，数量无限。现在需要这些种硬币组成我们的目标是aim，问有多少中组合的方法；

Arr = {3,2,1,5,7,3},aim = 20;

• 1. 递归解法
     寻找可变参数:idx表示从数组中的第idx以后的元素中找到组成rest的组合数；rest的初始值为aim;这类递归问题可以想成是一颗树；
     f(idx,rest)表示数组Arr的第idx以后的元素集合，从这个集合中选取硬币组成rest的组合数；

• code

//表示从数组种的idx位置开始以后种类的货币组成rest有多少种方法
int get_N1(vector& Arr, int idx, int rest)
{
	if (idx == Arr.size())
		return rest == 0 ? 1 : 0;
	int res = 0;
	for (int k = 0; k * Arr[idx] <= rest; k++)
	{
		res += get_N1(Arr, idx + 1, rest - Arr[idx] * k);
	}
	return res;
}

for循环的意义就是一个节点从所有的孩子拿信息，只不过这里的孩子说是根据给定的Arr已经aim才能确定，所以写成这种形式；

举例说明：Arr=[3,4,2,34,7,23],aim=20
面值3的硬币使用0次，get_N1(Arr,1,aim)
面值3的硬币使用1次，get_N1(Arr,1,aim-31)
面值3的硬币使用2次，get_N1(Arr,1,aim-32)
面值3的硬币使用6次，get_N1(Arr,1,aim-3*6)
使用7次，rest就小于零了；并且一直使用面值3，不能达到aim；

• 2. 严格表结构

/严格表结构
int get_N2(vector& Arr, int idx, int rest)
{
	vector> dp(Arr.size() + 1, vector(rest+1, 0));
	dp[Arr.size()][0] = 1;
	for (int i = Arr.size() - 1; i >= 0;i--)
	{
		for (int j = 0; j <= rest; j++)
		{
			
			int res = 0;
			for (int k = 0; k * Arr[idx] <= rest; k++)
			{
				res += dp[i + 1][rest - Arr[i] * k];
			}
			dp[i][j] += res;
		}
	}
	return dp[idx][rest];
}

• 3. 优化版本
     复用dp数组的信息

/严格表结构
int get_N2(vector& Arr, int idx, int rest)
{
	vector> dp(Arr.size() + 1, vector(rest+1, 0));
	dp[Arr.size()][0] = 1;
	for (int i = Arr.size() - 1; i >= 0;i--)
	{
		for (int j = 0; j <= rest; j++)
		{
			dp[i][j] = dp[i + 1][j];
			if (j - Arr[i] >= 0)
			{
				if (j - Arr[i] >= 0)
					dp[i][j] += dp[i][j - Arr[i]];
			}
		}
	}
	return dp[idx][rest];
}

4. 心得
   动态规划的题目重要是找到尝试的思路，也就是递归版本；可以i尝试左右边界，取值范围等；找到可变参数是解题的关键，可变参数越少越好，可变参数最好是一个值，不要使用数组类型或者其他类型的可变参数，最后确定可变参数的范围