数据结构：二叉树

一、二叉树的定义与基本操作
定义：把满足以下两个条件的树型结构叫做二叉树（Binary Tree）：
（1） 每个结点的度都不大于 2；
（2） 每个结点的孩子结点次序不能任意颠倒。

由此定义可看出，一个二叉树中的每个结点只能含有 0、1 或 2 个孩子，而且每个孩子有左右之分。位于左边的孩子叫做左孩子，位于右边的孩子叫做右孩子。
 

代码：

#include 
#include 

#define QUEUE_SIZE 5


typedef struct BTNode{
	char element;
	BTNode* left;
	BTNode* right;
}BTNode, *BTNodePtr;


typedef struct BTNodePtrQueue{
	BTNodePtr* nodePtrs;
	int front;
	int rear;
}BTNodePtrQueue, *QueuePtr;


QueuePtr initQueue(){
	QueuePtr resultQueuePtr = (QueuePtr)malloc(sizeof(struct BTNodePtrQueue));
	resultQueuePtr->nodePtrs = (BTNodePtr*)malloc(QUEUE_SIZE * sizeof(BTNodePtr));
	resultQueuePtr->front = 0;
	resultQueuePtr->rear = 1;
	return resultQueuePtr;
}//Of initQueue


bool isQueueEmpty(QueuePtr paraQueuePtr){
	if ((paraQueuePtr->front + 1) % QUEUE_SIZE == paraQueuePtr->rear) {
		return true;
	}//Of if

	return false;
}//Of isQueueEmpty


void enqueue(QueuePtr paraQueuePtr, BTNodePtr paraBTNodePtr){
	printf("front = %d, rear = %d.rn", paraQueuePtr->front, paraQueuePtr->rear);
	if ((paraQueuePtr->rear + 1) % QUEUE_SIZE == paraQueuePtr->front % QUEUE_SIZE) {
		printf("Error, trying to enqueue %c. queue full.rn", paraBTNodePtr->element);
		return;
	}//Of if
	paraQueuePtr->nodePtrs[paraQueuePtr->rear] = paraBTNodePtr;
	paraQueuePtr->rear = (paraQueuePtr->rear + 1) % QUEUE_SIZE;
	printf("enqueue %c ends.rn", paraBTNodePtr->element);
}//Of enqueue


BTNodePtr dequeue(QueuePtr paraQueuePtr){
	if (isQueueEmpty(paraQueuePtr)) {
		printf("Error, empty queuern");
		return NULL;
	}//Of if

	paraQueuePtr->front = (paraQueuePtr->front + 1) % QUEUE_SIZE;
	//BTNodePtr tempPtr = paraQueuePtr->nodePtrs[paraQueuePtr->front + 1];

	printf("dequeue %c ends.rn", paraQueuePtr->nodePtrs[paraQueuePtr->front]->element);
	return paraQueuePtr->nodePtrs[paraQueuePtr->front];
}//Of dequeue


BTNodePtr constructBTNode(char paraChar){
	BTNodePtr resultPtr = (BTNodePtr)malloc(sizeof(BTNode));
	resultPtr->element = paraChar;
	resultPtr->left = NULL;
	resultPtr->right = NULL;
	return resultPtr;
}//Of constructBTNode


BTNodePtr stringToBTree(char* paraString){
	int i;
	char ch;

	//Use a queue to manage the pointers
	QueuePtr tempQueuePtr = initQueue();

	BTNodePtr resultHeader;
	BTNodePtr tempParent, tempLeftChild, tempRightChild;
	i = 0;
	ch = paraString[i];
	resultHeader = constructBTNode(ch);
	enqueue(tempQueuePtr, resultHeader);

	while(!isQueueEmpty(tempQueuePtr)) {
		tempParent = dequeue(tempQueuePtr);

		//The left child
		i ++;
		ch = paraString[i];
		if (ch == '#') {
			tempParent->left = NULL;
		} else {
			tempLeftChild = constructBTNode(ch);
			enqueue(tempQueuePtr, tempLeftChild);
			tempParent->left = tempLeftChild;
		}//Of if

		
		//The right child
		i ++;
		ch = paraString[i];
		if (ch == '#') {
			tempParent->right = NULL;
		} else {
			tempRightChild = constructBTNode(ch);
			enqueue(tempQueuePtr, tempRightChild);
			tempParent->right = tempRightChild;
		}//Of if
	}//Of while

	return resultHeader;
}//Of stringToBTree


void levelwise(BTNodePtr paraTreePtr){
	//Use a queue to manage the pointers
	char tempString[100];
	int i = 0;
	QueuePtr tempQueuePtr = initQueue();
	BTNodePtr tempNodePtr;
	enqueue(tempQueuePtr, paraTreePtr);
	while(!isQueueEmpty(tempQueuePtr)) {
		tempNodePtr = dequeue(tempQueuePtr);
		
		//For output.
		tempString[i] = tempNodePtr->element;
		i ++;

		if (tempNodePtr->left != NULL){
			enqueue(tempQueuePtr, tempNodePtr->left);
		}//Of if
		if (tempNodePtr->right != NULL){
			enqueue(tempQueuePtr, tempNodePtr->right);
		}//Of if
	}//Of while
	tempString[i] = '';

	printf("Levelwise: %srn", tempString);
}//Of levelwise


void preorder(BTNodePtr tempPtr){
	if (tempPtr == NULL){
		return;
	}//Of if

	printf("%c", tempPtr->element);
	preorder(tempPtr->left);
	preorder(tempPtr->right);
}//Of preorder


void inorder(BTNodePtr tempPtr){
	if (tempPtr == NULL) {
		return;
	}//Of if

	inorder(tempPtr->left);
	printf("%c", tempPtr->element);
	inorder(tempPtr->right);
}//Of inorder


void postorder(BTNodePtr tempPtr){
	if (tempPtr == NULL) {
		return;
	}//Of if

	postorder(tempPtr->left);
	postorder(tempPtr->right);
	printf("%c", tempPtr->element);
}//Of postorder


int main(){
	BTNodePtr tempHeader;
	tempHeader = constructBTNode('c');
	printf("There is only one node. Preorder visit: ");
	preorder(tempHeader);
	printf("rn");

	char* tempString = "acde#bf######";

	tempHeader = stringToBTree(tempString);
	printf("Preorder: ");
	preorder(tempHeader);
	printf("rn");
	printf("Inorder: ");
	inorder(tempHeader);
	printf("rn");
	printf("Postorder: ");
	postorder(tempHeader);
	printf("rn");
	printf("Levelwise: ");
	levelwise(tempHeader);
	printf("rn");

	return 1;
}//Of main

运行结果：

 二叉树的性质
1：在二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个节点
2：深度为K的二叉树之多有2^(k-1)个节点

注：这里的深度K意思就是有K层的二叉树
3：对于任何一棵二叉树T，如果其终端节点有No个，度为2的节点数有N2，则No=N2+1
4: 具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1([x]表示不大于x的最大整数）

满二叉树：深度为 k 且有 2k-1 个结点的二叉树。在满二叉树中，每层结点都是满的， 即每层结点都具有最大结点数。如下图(a)所示的二叉树即为一棵满二叉树。

满二叉树的顺序表示，即从二叉树的根开始，层间从上到下，层内从左到右，逐层进行 编号（1，2，··· ，n）。例如下图(a)所示的满二叉树的顺序表示为(1，2，3，4，5，6，7，8， 9，10，11，12，13，14，15)。

完全二叉树：深度为 k，结点数为 n 的二叉树，如果其结点 1～n 的位置序号分别与满 二叉树的结点 1～n 的位置序号一一对应，则为完全二叉树，如下图(b)所示。 可见，满二叉树必为完全二叉树，而完全二叉树不一定是满二叉树。