Prim普里姆和Kruskal克鲁斯卡尔算法（最小生成树）

以前学图论的时候感觉prim和kruskal理论都理解了，prim不就是基于点，kruskal不就是基于边嘛，自以为掌握了，但某一天发现需要自己写的时候却无从下手，所以还是决定把这两个算法写一遍。

最小生成树，就是以最小的代价将所有的点连通起来，打个比方就是将各个独立的村落修道路将所有村落连接起来，待会看图就可理解了。

关于这两算法的详细介绍可参考图的基本算法解析（最小生成树） - 综合编程类其他综合 - 红黑联盟，本文图是他的，代码也是参考他的依照自己的理解进行了一些小优化，下文会标出。

Prim我个人的理解就是集合开始往外扩张。也就是部落从一个小村庄开始，他们想最有效的征服周围的村落，那么就把目标定为离该部落最近的村落，收复一个村落后把该点也加进来考虑下一个最近的村落，直至全部村落都在部落内（理解为修铁路也可以，将所有村落连起来）。

（1）选择起点

（2）从可移动的路径中找到最短路径

（3）判断此最短路径的两点是否已经在集合中，若在则删除此路径，不在则加入集合

（4）重复（2）（3）步骤直到所有点都已经在集合内，得出总路径

假设从a点开始，目前可移动的路径有7，4，那么选4，连接ac；

现在集合内拥有的点有a和c，可移动路径有7，6，8，9，选最小值6，连接cb；

重复执行，最后边的顺序为4，6，2，4，1，点的顺序为acbdfe；

#include 
#include  
#define INF 10000
using namespace std;
const int N = 6;//6个点嘛 
bool visit[N];//此点是否已在集合内 
int dist[N] = {0};//当前集合离各个点的最小距离 
int graph[N][N] = { {INF,7,4,INF,INF,INF},  //邻接矩阵，INF代表两点之间不可达
                    {7,INF,6,2,INF,4},//一维数组代表点，二维代表该点到其他点的距离 
                    {4,6,INF,INF,9,8},//对角线为自身到自身，所以都是INF 
                    {INF,2,INF,INF,INF,7},
                    {INF,INF,9,INF,INF,1},
                    {INF,4,8,7,1,INF}
                  };
int prim(int cur)
{
    int index = cur;//起始点 
    int sum = 0;//总路径 
    int i = 0;
    int j = 0;
    cout << index << " ";//debug输出起始点 
    memset(visit,false, sizeof(visit));//所有点未在集合内 
    visit[cur] = true;//起点加入集合 
    for(i = 0; i < N; i++)
        dist[i] = graph[cur][i];//初始化，每个起点邻接的点的距离存入dist，这里存入 {INF,7,4,INF,INF,INF}
    for(i = 1; i < N; i++)//因为起点已经初始化过，故少遍历一次，i=1，而非i=0 
    {
        int minor = INF;//dist内的最小值 
        for(j = 0; j < N; j++)
        {
            if(!visit[j] && dist[j] < minor)//找到未访问的点中，距离当前最小生成树距离最小的点
            {
                minor = dist[j];//更改最小值 
                index = j;//最小边所连接的点 
            }
        }
        visit[index] = true;//该点加入集合 
        cout << index << " ";//debug输出，该点 
        sum += minor;//总路程更新 
        for(j = 0; j < N; j++)
        {
            if(!visit[j] && dist[j]>graph[index][j])//执行更新，更新集合内到每个点的最小路径，对比一下新加入的点是否有更近路径，只判断集合外的点 
            {
                dist[j] = graph[index][j];
            }
        }
    }
    cout << endl;//换行 
    return sum;//返回最小生成树的总路径值
}
int main()
{
    cout << prim(0) << endl;//从顶点a开始
    return 0;
}

graph[N][N]二维邻接矩阵代表点（一维）和点到每个点的距离（二维），

visit[N]代表是否在集合内，

dist[N]代表当前集合到各个点的最小距离，

总体流程为：

（1）初始化，将起点加入集合，visit=true，并获取其各个路径加入dist

（2）遍历N-1次（起点已经单独判断过，所以次数-1），在dist找到最短路径（只判断集合外的点，即!visit[j]），将最短的路径所连接的点加入集合，即visit=true。

（3）加入了新点后，获取该点到其他点的距离（只判断集合外的点，即!visit[j]），若有到其他点的更短路径，更新dist。

（4）重复（2）（3）直至全部点加入集合。

注释应该写的比较详细，结合代码和注释应该不难看懂。

Prim理解为集合从一个点开始慢慢吸纳其它的点进来。Kruskal则是以边为出发点，最短的路径先连起来，连接成好几个小集合再合并。举上文的例子就是，各个点分别为一个部落，其中距离相近的两个部落先进行合并，合并成了几个中等规模部落，然后这几个部落再按照距离近的进行合并。怪怪的，看下流程吧：

（1）每个点作为一个集合，将边的距离进行升序排序

（2）找到最短的路径，判断该边的两顶点是否在同一集合内，若在则跳过，将该边踢出检测队列，若不在则合并两集合

（3）重复（2）直到所有顶点都在同一集合内

注意图跟我放的链接文章不太一样，仍然为Prim的图，9条边。

第一步找到最短的边，长度为1，连接ef；

第二步找到最短的边，长度为2，连接bd；

第三步找到最短的边，长度为4，连接ac（bf也可，看排序细节了）；

第四步找到最短的边，长度为4，连接bf；

注意：此时若de存在长度为5的边不会连接，因为在同一集合内，已经连同了！！！

第五步找到最短的边，长度为6，连接bc；

#include 
#include 
#include 
#define N 9
using namespace std;
class Node{
	public://class默认private 
	    int start;
	    int end;
		int val;
};
vector V(N);//边 

int edge[N][3] = {  {0,1,7},//start起点,end终点,val路径长度 
                    {0,2,4}, 
                    {1,2,6}, 
                    {1,3,2},
                    {1,5,4},
                    {2,4,8}, 
                    {2,5,9}, 
                    {3,5,7}, 
                    {4,5,1}
                	};
 
int father[N] = {0};//属于哪个集合，比如father[4]=0,4节点是属于0这个集合内的 
int cap[N] = {0};//可以理解为集合优先级，也可以理解为吞并其它集合的次数，并非集合的元素个数，详细见下文 
 
void make_set()//初始化集合，让所有的点都各成一个集合，每个集合都只包含自己
{
    for(int i = 0; i < N; i++)
    {
        father[i] = i;//每个点各自为一个集合 
        cap[i] = 1;//优先级都为1 
    }
}
 
int find_set(int x)//判断一个点属于哪个集合，点如果都有着共同的祖先结点，就可以说他们属于一个集合
{
    if(x != father[x])//如果点不在原始的集合，即已经加入了其它集合 
    {                             
        father[x] = find_set(father[x]);//获取该点所在的上级集合，上级若也并非原始集合，则递归找到最终的集合 
    }    
    return father[x];
}                                 
 
void Union(int x, int y)//将x,y合并到同一个集合
{
    x = find_set(x);//找到最终集合 
    y = find_set(y);
    if(x == y)//同一个集合则返回，无需合并 
        return;
    if(cap[x] < cap[y])//优先级比他小，则归入他的集合 
        father[x] = y;//原来是find_set(y)，但直接写y也一样 
    else
    {
        if(cap[x] == cap[y])//如果优先级相等 
            cap[x]++;//那么X的优先级增加，也可以理解成x吞并其它集合的次数，cap[x]不能理解为集合内元素的数量，不然此处应该为cap[x]+=cap[y]; 
        father[y] = x;//y归入x ，x原为find_set(x) 
    }
}
 
int Kruskal(int n)
{
    int sum = 0;
    make_set();
    for(int i = 0; i < N; i++)//将边的顺序按从小到大取出来
    {
        if(find_set(V[i].start) != find_set(V[i].end))//如果边的两个顶点不在一个集合中，就并到一个集合里，生成树的长度加上这条边的长度
        {
            Union(V[i].start, V[i].end);  //合并两个顶点到一个集合
            sum += V[i].val;//总路径增加 
        }
    }
    return sum;
}
int main()
{
    for(int i = 0; i < N; i++)//初始化边的数据，在实际应用中可根据具体情况转换并且读取数据,这边只是测试用例
    {
        V[i].start = edge[i][0];
        V[i].end = edge[i][1];
        V[i].val = edge[i][2];
    }
    sort(V.begin(),V.end(),[](Node x,Node y)->bool{return x.val 
edge[N][3]：N指的是9条边，3是边的三个属性，左边的顶点和右边的顶点、长度（无向图，并非单向，两点反过来也一样）
 
father[N]：该点属于哪个集合，需要递归判断，比如a属于b，但b又属于c，也就是a其实是属于c
 
cap[N] ：可以理解为集合优先级，也可以理解为吞并其它集合的次数，并非集合的元素个数
 
（1）初始化，依照边的长度进行升序排序。各个点分别为自己的集合
 
（2）排序后遍历每条边，若边两点不在一个集合内，则合并，若在一个集合内则不处理直接跳过
 
（3）重复执行（2）直到所有点都在同一集合内
 
 
注意：如果报错应该是匿名函数执行不了，这部分是C++11的新特性，老版本的编译器可能执行不了，需要在编译器上更改配置，或者直接不用匿名函数，按照下文进行修改即可
 
//sort(V.begin(),V.end(),[](Node x,Node y)->bool{return x.val