LeetCode腾讯精选练习50题-070.爬楼梯

• • • 题目描述
    • 解题思路
    • • • 思路1 动态规划
        • 思路2 递归（会超出时间限制）
        • 思路3 数学通项公式
    • 代码（Java）

example
input  : n = 2
output : 2
note   : 有两种方法可以爬到楼顶。
         1. 1 阶 + 1 阶
         2. 2 阶

input  : n = 3
output : 3
note   : 有三种方法可以爬到楼顶。
         1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
         2. 1 阶 + 2 阶
         3. 2 阶 + 1 阶

• 列举几个简单的台阶数，做总结，可以发现爬楼梯的方案数满足斐波那契数列。如：
  • 2阶，2种
  • 3阶，3种
  • 4阶，5种
  • 5阶，8种

• 状态转移方程：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

• 初始，dp[1] = 1, dp[2] = 2

• 从3到n遍历结束后，返回dp[n]即是爬楼梯的方案数

• 可以维护dp数组，保留每一个n可以产生的方案数

• 也可以不维护数组，动过迭代变量保留最后的方案数

• 从动态规划变形得到的
• 递归出口：
  • n = 1，返回1
  • n = 2，返回2
• 递归过程：
  • 返回 loop(n - 1) + loop(n - 2)

• 斐波那契数列的通项公式为：
  • f(n)=[((1+√5) / 2)ⁿ−((1−√5)/2)ⁿ] / √5

思路1代码

public class Solution1 {
    public int climbStairs(int n) {
        if (n == 1){
            return 1;
        }
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++){
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }

    // 不借助dp数组的写法
    public int climbStairs2(int n){
        int p = 0;
        int q = 1;
        int r = p + q;
        for (int i = 2; i <= n; i++){
            p = q;
            q = r;
            r = p + q;
        }
        return r;
    }
}

思路2代码

public class Solution2 {
    public int climbStairs(int n) {
        // 超出时间限制O(2^n)
        if (n <= 1) {
            return 1;
        }
        return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);
    }
}

思路3代码

public class Solution3 {
    public int climbStairs(int n) {
        double sqrt5 = Math.sqrt(5);
        double fibn = Math.pow((1 + sqrt5) / 2, n + 1) - Math.pow((1 - sqrt5) / 2, n + 1);
        return (int) Math.round(fibn / sqrt5);
    }
}