动态规划
总结：
1.dp数组的定义和下标。
2.递推公式。
3.dp数组如何初始化，初始化也需要注意。
4.遍历顺序，比较考究，01 先遍历背包，后遍历物品。
4.1排列和组合的遍历顺序是不相同的。 4.1.1 排列：背包在外 物品在内。（322） 4.1.2 组合：物品在外，背包在内。（518）
5.（出现问题）打印dp数组。（打印dp数组，检查是否有问题，检验1 2 3 4 步骤）
发出这样的问题之前，其实可以自己先思考这三个问题：
- 这道题目我举例推导状态转移公式了么？
- 我打印dp数组的日志了么？
- 打印出来了dp数组和我想的一样么
509. 斐波那契数
总结:i <= n
class Solution {
public:
int fib(int N) {
if (N <= 1) return N;
vector dp(N + 1);
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= N; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[N];
}
};
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
当然可以发现，我们只需要维护两个数值就可以了，不需要记录整个序列。
代码如下：
class Solution {
public:
int fib(int N) {
if (N <= 1) return N;
int dp[2];
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= N; i++) {
int sum = dp[0] + dp[1];
dp[0] = dp[1];
dp[1] = sum;
}
return dp[1];
}
};
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(1)
70. 爬楼梯
总结：如果可以推出dp[i]呢？
从dp[i]的定义可以看出，dp[i] 可以有两个方向推出来。
首先是dp[i - 1]，上i-1层楼梯，有dp[i - 1]种方法，那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]了么。
还有就是dp[i - 2]，上i-2层楼梯，有dp[i - 2]种方法，那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]了么。
那么dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和！
所以dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 。
在推导dp[i]的时候，一定要时刻想着dp[i]的定义，否则容易跑偏
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
if (n <= 1) return n;
int dp[3];
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
int sum = dp[1] + dp[2];
dp[1] = dp[2];
dp[2] = sum;
}
return dp[2];
}
};
746. 使用最小花费爬楼梯
总结：dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
dp[i]代表下一个台阶的 体力值，但是返回是dp[i-1] 或dp[i-2]
class Solution {
public:
int minCostClimbingStairs(vector& cost) {
vector dp(cost.size());
dp[0] = cost[0];
dp[1] = cost[1];
for (int i = 2; i < cost.size(); i++) {
dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
}
// 注意最后一步可以理解为不用花费，所以取倒数第一步，第二步的最少值
return min(dp[cost.size() - 1], dp[cost.size() - 2]);
}
};
62.不同路径
这里要看一下递归公式dpi = dpi - 1 + dpi，dpi都是从其上方和左方推导而来，那么从左到右一层一层遍历就可以了。
总结：初始化是给1 。不是给0
for (int i = 0; i < m; i++) dpi = 1;
class Solution {
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
vector> dp(m, vector(n, 0));
for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;
for (int i = 1; i < m; i++) {
for (int j = 1; j < n; j++) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
return dp[m - 1][n - 1];
}
};
63. 不同路径 II
初始化的部分，很容易忽略了障碍之后应该都是0的情况。
总结： 开始黑洞给0，其他的为1.只要考虑一部，开始自己想法，多步骤加3是错误的，分享当前1步 和前 2步。
class Solution {
public:
int uniquePathsWithObstacles(vector>& obstacleGrid) {
int m = obstacleGrid.size();
int n = obstacleGrid[0].size();
vector> dp(m, vector(n, 0));
for (int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] == 0; j++) dp[0][j] = 1;
for (int i = 1; i < m; i++) {
for (int j = 1; j < n; j++) {
if (obstacleGrid[i][j] == 1) continue;
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
return dp[m - 1][n - 1];
}
};
- 时间复杂度：O(n × m)，n、m 分别为obstacleGrid 长度和宽度
- 空间复杂度：O(n × m)
