背包问题（普通、完全、多重）的思路分析和代码模板

给定 n 件物品，物品的重量和价值分别为w[i]和v[i]。现挑选物品放入背包中，假定背包能承受的最大重量为 m，问应该如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？

即只需要决定放不放这个物品，不涉及放多少的问题（物品只有一个）。

暴力枚举（时间复杂度O(2ⁿ)）

即排列组合, 枚举每一个物品是否在背包里

剪枝法（1.跳过超重的部分 2.相同重量且有更优解时，及时剪枝）

在将上述爆搜方法的缺点克服后, 我们已经窥得动态规划的一点端倪。或者说，动态规划本质上是一种优化的爆搜

动态规划

即f数组是一个集合, 其存储的值是集合中唯一有意义的情况，时间复杂度O(nm)，明显优于暴力

关于初始化，因为后面有剪枝，而且下一排需要用到它的值，这样是为了使每个f [i] [c]都能有正确的值

for(int i=0;ic) continue;  //剪枝去超重情况
        f[i][c]=max(f[i][c],f[i-1][c-w[i]]+v[i]);  //取拿和不拿中的最大值
    }
}

一维数组优化

有的朋友就问了，这里为什么没有初始化了？ 因为这是一个一维数组，每排用到的都是当前所在的值

至于内循环顺序为什么变了，因为每个物品只有一个，如果先排前面的，就有可能出现放两次的可能

for(int i=1;i<=n;i++)
{
    for(int c=m;c>=0;c--)
    {
        if(w[i]>c) continue;
        f[c]=max(f[c],f[c-w[i]]+v[i]);
    }
}

更进一步的常数优化：

改后的内层循环只循环到最小的会改变的重量的地方，避免了部分无效循环

for(int i=1;i<=n;i++)
{
    sumw+=w[i];
    bound=max(m-sumw,w[i]);
    for(int c=m;c>=bound;c--)
    {
        f[c]=max(f[c],f[c-w[i]]+v[i]);
    }
}

给定 n 件物品，物品的重量和价值分别为w[i]和v[i]，每一件物品可以取无数个。现挑选物品放入背包中，假定背包能承受的最大重量为 m，问应该如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？

即需要决定放不放这个物品，如果放要放多少个的问题（物品有无数个）。

直接在普通背包动态规划的基础上对每个物品，枚举其可能的个数（时间复杂度O(nmk)）（k=m/w[i]）

对于一些比较特殊的样例，可以将这个时间复杂度卡得很高

for(int i=0;i 
改进想法： 
二进制优化（将每次循环拿的件数从增加一件改成增加2的k次幂件直至放不下）
 
for(int i=1;i<=n;i++)
{
    for(int a=1;a*2=w[i];c--)
  		{
        	f[c]=max(f[c],f[c-a*w[i]]+a*v[i]);
    	}
    }
}
 
进阶想法： 
一维数组优化：
 
其实不难发现，以下代码与普通背包一维数组优化只有内循环顺序有差别，因为这次需要包括放多个的情况
 
for(int i=1;i<=n;i++)
{
    for(int c=0;c<=m;c++)
    {
        if(w[i]>c) continue;
        f[c]=max(f[c],f[c-w[i]]+v[i]);
    }
}
 
 
三、多重背包问题 
问题描述： 
给定 n 件物品，物品的重量和价值分别为w[i]和v[i]，每一件物品对应的数量有u[i]个。现挑选物品放入背包中，假定背包能承受的最大重量为 m，问应该如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？
 
即需要决定放不放这个物品，如果放要放多少个的问题（物品有u[i]个）。
 
直接想法： 
直接在普通背包动态规划的基础上对每个物品, 枚举其可能的个数（时间复杂度O(nmk)）
 
对于一些比较特殊的样例，可以将这个时间复杂度卡得很高
 
for(int i=0;ic) continue;
            f[i][c]=max(f[i][c],f[i-1][c-k*w[i]]+k*v[i]);  //取拿不同件数中的最大值
        }
    }
}
 
改进想法： 
二进制优化（将每次循环拿的件数从增加一件改成增加2的k次幂件直至放不下或者不够，将剩余的再循环一次）
 
for(int i=1;i<=n;i++)
{
    for(int a=1;a*2=a*w[i];c--)
  		{
        	f[c]=max(f[c],f[c-a*w[i]]+a*v[i]);
    	}
    }
    if(a*2<=m)  //如果放得下，就放剩余的
    {
        for(int c=m;c>=(m-a+1)*w[i];c--)  //(m-a+1)是剩余的数量
  		{
        	f[c]=max(f[c],f[c-(m-a+1)*w[i]]+(m-a+1)*v[i]);
    	}
    }
}
 
进阶想法： 
单调队列优化
 
由于理解难度较高，以下只给出模板，具体原理可以自己去参考https://github.com/tianyicui/pack（背包九讲），原理讲的特别清晰！！！
 
for(int i=1;i<=n;i++)
{
    if(w[i]*a[i]>m)
    {
        for(int c=0;c<=m;c++)
        {
        if(c>=w[i])
        f[c]=max(f[c],f[c-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    else
    {
         k=1;amount=a[i];
         while(k=0;c--)
             {
                 if(c>=w[i])
                 f[c]=max(f[c],f[c-w[i]]+k*v[i]);
             }
             amount-=k;
             k<<=1;
         }  
         for(int c=amount*w[i];c>=0;c--)
         {
             f[c]=max(f[c],f[c-w[i]]+amount*v[i]);
         }
    } 
}
 
by  SZU  jt  2022-05-19