- 前言
- 一、特殊的法线变换
前言
最近，在学习UnityCG.cgjnc源码时，发现在非统一变换下，矩阵变换变成了左乘，顿时充满了疑惑，故此文章推导官方为啥这么写。
| 符号 | 含义 |
|---|---|
| T o T_o To | 模型空间下顶点的切线向量 |
| T w T_w Tw | 世界空间下顶点的切线向量 |
| N o ， N w N_o，N_w No，Nw | 同上，N表示法线向量 |
| M o w M_{ow} Mow | 模型空间到世界空间的变换矩阵 |
| M w o M_{wo} Mwo | 世界空间到模型空间的变换矩阵 |
| G G G | 法线向量从模型空间到世界空间的变换矩阵 |
在计算光照的时候，我们常常会用到世界空间坐标下的法线。对于顶点的切线向量
T
w
T_w
Tw ，可由下列公式得到：
T
w
=
M
o
w
⋅
T
o
T_w = M_{ow} cdot T_o
Tw=Mow⋅To
单独来说，顶点的法线向量，也可通过上式变换。但是，变换后的法线向量却不一定与变换后的切线向量垂直了。具体可看乐乐女神的图解，
所以，为了求得
N
w
N_w
Nw，我们得利用切线与法线垂直的关系。即：
T
w
⋅
N
w
=
0
T_w cdot N_w = 0
Tw⋅Nw=0
因此，我们可以进行如下公式推导：
T
w
⋅
N
w
=
0
(
M
o
w
⋅
T
o
)
⋅
(
G
⋅
N
o
)
=
0
T
o
T
⋅
(
M
o
w
T
⋅
G
)
⋅
N
o
=
0
T_w cdot N_w = 0 \ (M_{ow} cdot T_o) cdot (G cdot N_o) = 0 \ T_o^T cdot (M_{ow}^T cdot G) cdot N_o = 0 \
Tw⋅Nw=0(Mow⋅To)⋅(G⋅No)=0ToT⋅(MowT⋅G)⋅No=0
因为
T
o
T
⋅
N
o
=
0
T_o^T cdot N_o =0
ToT⋅No=0， 所以只要
M
o
w
T
⋅
G
=
I
M_{ow}^T cdot G = I
MowT⋅G=I,上式即可成立。
故，
G
=
(
M
o
w
T
)
−
1
G
=
(
M
o
w
−
1
)
T
G = (M_{ow}^T)^{-1} \ G = (M_{ow}^{-1})^T \
G=(MowT)−1G=(Mow−1)T
因此，
N
w
=
(
M
o
w
−
1
)
T
⋅
N
o
N_w = (M_{ow}^{-1})^T cdot N_o
Nw=(Mow−1)T⋅No，再来个双重转置可得，
N
w
=
N
o
T
⋅
M
o
w
−
1
N_w = N_o^T cdot M_{ow}^{-1}
Nw=NoT⋅Mow−1，又因为
M
o
w
−
1
=
M
w
o
M_{ow}^{-1} = M_{wo}
Mow−1=Mwo，所以最终得到：
N
w
=
N
o
⋅
M
w
o
N_w = N_o cdot M_{wo}
Nw=No⋅Mwo
这个公式，就是源码中的实现方式。
