[LeetCode刷题笔记]309 - 最佳买卖股票时机含冷冻期（C++/Python3/Java/动态规划）

• • 一、题目描述
  • 二、求解思路：动态规划（含内存优化python代码）
  • 三、参考文章

• 给定一个整数数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 是一支给定的股票在第 i 天的价格。
• 设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）：
  • 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
  • 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例：

提示：

• 0 < = p r i c e s . l e n g t h < = 5000 0 <= prices.length <= 5000 0<=prices.length<=5000
• 0 < = p r i c e s [ i ] < = 1000 0 <= prices[i] <= 1000 0<=prices[i]<=1000

• 沿用 123 - 买卖股票的最佳时机 III 的超超超通俗易懂的三维动态规划思路，再进行简化状态，优化内存。
• 此时的 dp[i][j][k] 的第三维表示是否处于冷冻期，是则为 1 ，不是则为 0 。
• 分析可知只有四种状态，但有一种状态不可能存在：
  • dp[i][0][0] 表示第 i 天操作后未持股且未处于冷冻期，即一定是上一天未持股，无论是处于还是未处于冷冻期都有可能，因为冷冻期只能维持一天。并且，上一天不可能持股，是因为如果上一天持股今天未持股，那必定是今天卖了股票，会处于冷冻期；
  • dp[i][0][1] 表示第 i 天操作后未持股且处于冷冻期，即一定是上一天持股到今天卖了的情况；
  • dp[i][1][0] 表示第 i 天操作后持股且未处于冷冻期；
  • dp[i][1][1] 表示第 i 天操作后持股且处于冷冻期，不存在此状态，因为股票无论是今天买的还是之前买的，都不可能买完后处于冷冻期；
• 由此确定状态转移函数：
  • dp[i][0][1] = max(dp[i-1][0][0], dp[i-1][0][1])
  • dp[i][0][1] = dp[i-1][1][0] + prices[i]
  • dp[i][1][0] = max(dp[i-1][1][0], dp[i-1][0][0] - prices[i])
• 由以上的思路可简化状态，且优化内存，本文尚且提供一个优化的 python 代码。

C++代码

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector& prices) {
        int n = prices.size();
        int dp[n][2][2];
        dp[0][0][0] = 0; dp[0][1][0] = -prices[0]; dp[0][0][1] = 0; 
        for(int i = 1; i < n; i++) {
            dp[i][0][0] = max(dp[i-1][0][0],dp[i-1][0][1]);
            dp[i][0][1] = dp[i-1][1][0] + prices[i];
            dp[i][1][0] = max(dp[i-1][0][0]-prices[i],dp[i-1][1][0]);
        }

        return max(dp[n-1][0][0],dp[n-1][0][1]);
    }
};

Python3代码

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        n = len(prices)
        dp = [[[0,0],[0,0]] for i in range(n)]
        dp[0][0][0] = 0
        dp[0][1][0] = -prices[0]
        dp[0][0][1] = 0
        for i in range(1,n):
            dp[i][0][0] = max(dp[i-1][0][0],dp[i-1][0][1])
            dp[i][0][1] = dp[i-1][1][0]+prices[i]
            dp[i][1][0] = max(dp[i-1][0][0]-prices[i],dp[i-1][1][0])

        return max(dp[n-1][0][0],dp[n-1][0][1])

Java代码

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int n = prices.length;
        int[][][] dp = new int[n][2][2];
        dp[0][0][0] = 0; dp[0][1][0] = -prices[0]; dp[0][0][1] = 0; 
        for(int i = 1; i < n; i++) {
            dp[i][0][0] = Math.max(dp[i-1][0][0],dp[i-1][0][1]);
            dp[i][0][1] = dp[i-1][1][0]+prices[i];
            dp[i][1][0] = Math.max(dp[i-1][0][0]-prices[i],dp[i-1][1][0]);
        }

        return Math.max(dp[n-1][0][0],dp[n-1][0][1]);
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)。
• 空间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)。

优化内存版本的Python3代码

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        n = len(prices)
        s0, s1, s2 = -prices[0], 0, 0
        for i in range(1, n):
            news0 = max(s0, s2 - prices[i])
            news1 = s0 + prices[i]
            news2 = max(s1, s2)
            s0, s1, s2 = news0, news1, news2
        
        return max(s1, s2)

复杂度分析

• 时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)。
• 空间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)。

[1] https://blog.csdn.net/qq_40430360/article/details/124760973