学习笔记动态规划前缀和优化动态规划

前缀和复习：
设数组是a[]
s[i]=a[0]+……+a[i]
第i位到第j位的和为
a[i]+a[i+1]+……+a[j]
=(a[0]+……+a[j])-((a[0]+……+a[i-1])
=s[j]-s[i-1]

例如：给定n个数字a[1],a[2],a[3]……a[n],请你在其中取出任意段连续的数字，每段长度为k，要求选取的连续数字不能重复。求最大数字和。
对于这个问题，我们很容易能定义状态dp[i]，表示当i为最后一段结尾时最大的数字和。此时，状态转移方程是：
dp[i]=max(dp[1],dp[2],……dp[i-1])+(a[i-k+1]+a[i-k+2]+……+a[i])
当1<=i dp[i]=0,1<=i

那么我们应该如何优化取max和求和的这两部分呢？
首先，对于求和的部分，可以定义前缀和sum[i]=a[1]+a[2]+……+a[i]，这样求和部分变化为
a[i-k+1]+a[i-k+2]+……+a[i]=sum[i]-sum[i-k]
至于maxx[i]=max(dp[1],dp[2],……,dp[i-k])=max(mx[i-1],dp[i-k);
我们也可以认为mx本质上就是一个前缀和，只是其运算操作是max而不是+。

代码示例

#include 
#include 
using namespace std;
const int N = 1e6+5;
int a[N], dp[N], sum[N];

int main()
{
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    int mx = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
         sum[i] = sum[i - 1]+  a[i];
        if(i >= k){
            mx = max(mx, dp[i - k]);
            dp[i] = mx + sum[i] - sum[i - k];
        }
    }
    for(int i = n - k + 1;i <= n; i++){
        mx=max(mx, dp[i]);
    }
    cout << mx << endl;
    return 0;
}`