密码学-模逆运算

扩展欧几里得算法

        给予二整数 a 与 b, 必存在有整数 x 与 y 使得  ax + by = gcd(a,b)  。

       有两个数a,b，对它们进行辗转相除法，可得它们的最大公约数——这是众所周知的。然后，收集辗转相除法中产生的式子，倒回去，可以得到ax+by=gcd(a,b)的整数解。

1、算法原理

        给定整数a、b，若gcd(a,b)=1。则存在c，满足ac=1 mod b，c即为a模b的乘法逆元。

       利用扩展的欧几里得算法求得满足条件的c：先做辗转相除，当a、b互素时，最后一步得到的余数为1，再从1出发，对前面得到的所有除法算式进行变形，将余数用除数和被除数表示，最终便可将1表示为a与b的一种线性组合，即

       从而x就是a模b的乘法逆元。因此寻找乘法逆元的过程就是求x和y的过程。 

       这里我们先看一下人工计算的过程：

       具体实现时使用三组变量：x1，x2，x3；y1，y2，y3；t1，t2，t3。初始化时，给x1，x2，x3别赋值1、0、a，则有

1 × a + 0 × b = a

       类似地，给y1，y2，y3分别赋值0、1、b，有

0 × a + 1 × b = b

       接下来开始迭代，保证在每次迭代中，有

a × t1 + b × t2 = t3

成立。为此只需在每一步中为 ti 分别赋值  (i=1,2,3) ，其中q为x3除以y3的商。

       当最后t3迭代至计算结果为1时，相应的 t1 就是 a模b的乘法速元，而 t2 是b模a的乘法逆元。

2、代码部分

#include 
int main(int argc, char *argv[])
{
	int temp,q,t1,t2,t3;
	int a,b,swap=0;
	int x1,x2,x3,y1,y2,y3;
	printf("Input two integers: ");
	scanf("%d",&a);
	scanf("%d",&b);
	if (ab
		swap = 1;
		temp = a;
		a = b;
		b = temp;		
	}
	x1=1;	x2=0;	x3=a;    // 初始
	y1=0;	y2=1;	y3=b;
	while (y3!=0)
	{
		q=x3/y3; //商
		t1=x1-q*y1;	t2=x2-q*y2;	t3=x3-q*y3;
		x1=y1;		x2=y2;		x3=y3;
		y1=t1;		y2=t2;		y3=t3;
		printf("nt1,t2,t3t%dt%dt%d ;",t1,t2,t3);	
	}
	printf("n");
	if(x3 == 1)   // 这里使用x3，组后一轮循环中，x3保存了上一步中值为1的t3
	{
		if(swap==1)
		{
			printf("ninverse of %d mod %d is:%d",b,a,x2);
			printf("ninverse of %d mod %d is:%d",a,b,x1);		
		}
		else{
			printf("ninverse of %d mod %d is:%d",a,b,x2);
			printf("ninverse of %d mod %d is:%d",b,a,x1);	
		}			
	}
	else  printf("no inverse");
	printf("nnn");
	return 0;
}

注释：

       关于判断条件是  x3==1，而不是 t3==1 的问题，while循环中本质使用的是辗转相除法，对于 ti 的赋值表达式，先看t3，t3=x3-q*y3 ，q=x3/y3 ，我理解的是 t3 就是 x3除以y3的余数，加上开始时,给 x3=a，y3=b ，所以对t3的迭代可以看成对 （a,b）做辗转相除法。

      再看 t1 和 t2，为了保持线性关系ax + by = gcd(a,b)，相应的x和y的值也需要变化，这就是 t1 和 t2 的作用。