python-矩阵的对角化-3Blue1Brown-10特征向量与特征值-思考题代码

3Blue1Brown 线性代数的本质第10节特征向量与特征值的课后题，对比矩阵的n次幂计算，与对角化的关系。

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经过计算，发现A的n次方符合斐波那契数列规律。这个计算虽然不是很复杂，但是n次幂就需要经过n-1次计算。而经过对角化后，也就是第二题，根据特征向量，转化A矩阵到以特征向量为基向量的坐标系，得到以特征值构成的对角化矩阵。这个求n次幂只需要一次计算即可求得。最后只需再把计算结果转回标准坐标系即可得到与第一题相同的结果。

python计算代码如下：

import numpy as np

def main():
	# test = np.array([[2, 0], [0, 3]])
	# print(mypow(test, 3))
	np.set_printoptions(suppress=True, linewidth=300)	#设置矩阵输出不用科学计数法，方便观看

	A = np.array([[0, 1], [1, 1]])	#矩阵，线性变换

	V = np.array([[2, 2], [1+np.sqrt(5), 1-np.sqrt(5)]])
	V_reverse = np.linalg.inv(V)	# T的逆矩阵

	# A 矩阵在对角化后的对角矩阵，也就是说A矩阵对应的，在以V为基向量的坐标系中的矩阵，记为B
	B = np.dot(V_reverse, np.dot(A, V))  

	n = 10	#幂数

	#第一题，A的n次幂，其实计算后发现是斐波那契数列的规律
	print("n A power 10 is:n", mypow(A, n))	

	#第二题，先把A对应的对角阵B 求n次幂
	print("n A translate in diagonal matrix, another coordinate system B:n", B)
	A_B = mypow(B, n)
	print("n B power 10 is:n", A_B)
	#然后再将其转换回A的坐标系，发现与A的n次幂相同
	A_B_A = np.dot(V, np.dot(A_B, V_reverse))
	print("n After B powered 10, translate back into original coordinate system:n", A_B_A)


def mypow(a, n):
	#将矩阵a，幂乘n次并返回结果
	if n<1:
		return 
	c = a
	if n==1:
		return c
	for i in range(n-1):
		c = np.dot(a, c)
	return c

if __name__ == '__main__':
	main()

运行结果：