目录

1.树型结构

1.1概念

1.2 重要概念

1.3 树的表示形式

1.4树的应用

2.二叉树

2.1 概念

2.2 两种特殊的二叉树

2.3 二叉树的性质

2.4 二叉树的存储

2.5 二叉树的基本操作

2.5.1 前置说明

2.5.2 二叉树的遍历

2.5.3 二叉树的基本操作

2.6 二叉树相关oj问题

1.树型结构

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1.1概念

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树是一种 非线性 的数据结构，它是由 n （ n>=0 ）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做树是因为它看 起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的 。它具有以下的特点： 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点 除根结点外，其余结点被分成 M(M > 0) 个互不相交的集合 T1 、 T2 、 ...... 、 Tm ，其中每一个集合 Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有 0 个或多个后继 树是递归定义的。

1.2 重要概念

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结点的度 ：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图： A 的度为 6 树的度 ：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为 6 叶子结点或终端结点 ：度为 0 的结点称为叶结点； 如上图： B 、 C 、 H 、 I... 等节点为叶结点 双亲结点或父结点 ：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图： A 是 B 的父结点 孩子结点或子结点 ：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图： B 是 A 的孩子结点 根结点 ：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图： A 结点的层次 ：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子结点为第 2 层，以此类推 树的高度或深度 ：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为 4 树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可： 非终端结点或分支结点 ：度不为 0 的结点； 如上图： D 、 E 、 F 、 G... 等节点为分支结点 兄弟结点 ：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图： B 、 C 是兄弟结点 堂兄弟结点 ：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图： H 、 I 互为兄弟结点 结点的祖先 ：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图： A 是所有结点的祖先 子孙 ：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是 A 的子孙 森林 ：由 m （ m>=0 ）棵互不相交的树组成的集合称为森林

1.3 树的表示形式

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树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如： 双亲表示法 ， 孩子表示法 、 孩子双亲表示法 、 孩子兄弟表示法 等等。我们这里就简单的了解其中最常用的 孩子兄弟表示法 。

class Node {
   int value; // 树中存储的数据
   Node firstChild; // 第一个孩子引用 
   Node nextBrother; // 下一个兄弟引用 
}

1.4树的应用

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就你的文件夹 

2.二叉树

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2.1 概念

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2.1 概念 一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合： 1. 或者为空 2. 或者是由 一个根节 点加上两棵别称为 左子树 和 右子树 的二叉树组成。                  注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

 

2.2 两种特殊的二叉树

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1. 满二叉树 : 一棵二叉树，如果 每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树 。也就是说， 如果一棵 二叉树的层数为 K ，且结点总数是 ，则它就是满二叉树 。 2. 完全二叉树 : 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K 的，有 n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 0 至 n-1 的结点一一对应时称之为完 全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3 二叉树的性质

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1. 若规定 根结点的层数为 1 ，则一棵 非空二叉树的第 i 层上最多有 (i>0) 个结点 2. 若规定只有 根结点的二叉树的深度为 1 ，则 深度为 K 的二叉树的最大结点数是 (k>=0) 3. 对任何一棵二叉树 , 如果其 叶结点个数为 n0, 度为 2 的非叶结点个数为 n2, 则有 n0 ＝ n2 ＋ 1 4. 具有 n 个结点的完全二叉树的深度 k 为  log 2（n） 上取整 5. 对于具有 n 个结点的完全二叉树 ，如果按照 从上至下从左至右的顺序对所有节点从 0 开始编号 ，则对于 序号为 i 的结点有 ： 若 i>0 ， 双亲序号： (i-1)/2 ； i=0 ， i 为根结点编号 ，无双亲结点 若 2i+1

2.4 二叉树的存储

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 二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。

顺序存储在下节介绍。

 二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node { 
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树 
}

// 孩子双亲表示法

class Node {
     int val; // 数据域 
     Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
     Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树 
     Node parent; // 当前节点的根节点 
}

2.5 二叉树的基本操作

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2.5.1 前置说明

 在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在大家对二叉树结 构掌握还不够深入，为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，等 二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。

public class BinaryTree{
    public static class BTNode{
     BTNode left;
     BTNode right; 
     int value; 

    BTNode(int value){ 
        this.value = value; 
    }
 }
    private BTNode root;

    public void createBinaryTree(){ 
        BTNode node1 = new BTNode(1);
        BTNode node1 = new BTNode(2); 
        BTNode node1 = new BTNode(3); 
        BTNode node1 = new BTNode(4); 
        BTNode node1 = new BTNode(5);
        BTNode node1 = new BTNode(6); 
            root = node1; node1.left = node2;
            node2.left = node3;
            node1.right = node4; 
            node4.left = node5; 
            node5.right = node6;     
    }
 }

注意：上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解。 再看二叉树基本操作前，再回顾下二叉树的概念， 二叉树是： 1. 空树 2. 非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的。

2.5.2 二叉树的遍历

1. 前中后序遍历 学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓 遍历 (Traversal) 是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结 点均做一次且仅做一次访问 。 访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题 ( 比如：打印节点内容、节点内容加 1) 。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。 在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱， 如果按 照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的 。如果 N 代表根节点， L 代表根节点的 左子树， R 代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式： NLR ：前序遍历 (Preorder Traversal 亦称先序遍历 )—— 访问根结点 ---> 根的左子树 ---> 根的右子树。 LNR ：中序遍历 (Inorder Traversal)—— 根的左子树 ---> 根节点 ---> 根的右子树。 LRN ：后序遍历 (Postorder Traversal)—— 根的左子树 ---> 根的右子树 ---> 根节点。

// 前序遍历 void preOrder(Node root); 
// 中序遍历 void inOrder(Node root);
// 后序遍历 void postOrde(Node root);

前序遍历结果： 1 2 3 4 5 6 中序遍历结果： 3 2 1 5 4 6 后序遍历结果： 3 1 5 6 4 1 2. 层序遍历

层序遍历 ：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在 层数为 1 ，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第 2 层 上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

2.5.3 二叉树的基本操作

2.6 二叉树相关oj问题

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1. 检查两颗树是否相同。 100. 相同的树 - 力扣（LeetCode）

class Solution {
    public boolean isSameTree(TreeNode p, TreeNode q) {
        if(p == null && q == null) return true;
        else if(p != null && q != null && p.val == q.val){
            return isSameTree(p.left,q.left)&&isSameTree(p.right,q.right);
            }else{
                return false;
            }
        }
    }

2. 另一颗树的子树。 OJ链接  572. 另一棵树的子树 - 力扣（LeetCode） 3. 二叉树最大深度 OJ链接  104. 二叉树的最大深度 - 力扣（LeetCode） 4. 判断一颗二叉树是否是平衡二叉树。 OJ链接  110. 平衡二叉树 - 力扣（LeetCode） 5. 对称二叉树。 OJ链接  101. 对称二叉树 - 力扣（LeetCode） 6. 二叉树的构建及遍历。 OJ链接  二叉树遍历_牛客题霸_牛客网 (nowcoder.com) 7. 二叉树的分层遍历 。 OJ链接  Loading Question... - 力扣（LeetCode） 8. 给定一个二叉树 , 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先 。 OJ链接  236. 二叉树的最近公共祖先 - 力扣（LeetCode） 9. 二叉树搜索树转换成排序双向链表。 OJ链接  二叉搜索树与双向链表_牛客题霸_牛客网 (nowcoder.com) 10. 根据一棵树的前序遍历与中序遍历构造二叉树。 OJ链接  Loading Question... - 力扣（LeetCode） 11. 根据一棵树的中序遍历与后序遍历构造二叉树（ OJ链接  Loading Question... - 力扣（LeetCode） 12. 二叉树创建字符串。 OJ链接  606. 根据二叉树创建字符串 - 力扣（LeetCode） 13. 二叉树前序非递归遍历实现 。 OJ链接  144. 二叉树的前序遍历 - 力扣（LeetCode） 14. 二叉树中序非递归遍历实现。 OJ链接  94. 二叉树的中序遍历 - 力扣（LeetCode） 15. 二叉树后序非递归遍历实现。 OJ链接  145. 二叉树的后序遍历 - 力扣（LeetCode）