背包问题（适用凑硬币等） 简单动态规划 算法详解 [C++]

• 背包问题（适用凑硬币）
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现在有一个体积为V的背包，还有N个物品，每个物品的体积和价值都不同。
问：该如何在有限的体积里放入价值最大的物品？输出能放入背包的物品的最高总价值。

例如：

N = 4;
V = 5;
worth[] = {2,4,4,5};
volume[] = {1,2,3,4};

output: 8 // 选择体积为2和3的物品，价值为4+4=8

本题适用于前面凑硬币的解决方法，使用动态规划。

开辟数组f[i][j]用来记录前i个物品，最大体积为j时能够组成的最大质量数。

所以需要从1开始遍历到V，如果当前体积j小于物品体积volume[j]，那么就放不下该物品，则当前f[i][j]应当等于前i-1个物品，体积为V时的价值量，因为此时没有存放物品，体积也没有改变。

如果当前体积j大于物品体积volume[j]，那么有两种选择，第一种，不放该物品，那么此时价值总量f[i][j]为f[i-1][j]，第二种，放该物品，那么就要取出前面放入的物品，放入当前物品，此时的总价值量为f[i-1][j-volume[i]]+worth[i]. f[i-1]是为了退回到上一次放物品之前，f[j-volume[i]]是为了找到放入当前物品之前的最大体积能放入的物品。

由此可以写出代码：

#include 
#include 
using namespace std;
int main() {
    int N, V;
    cout << "N and V: ";
    cin >> N >> V;
    int* worth = new int[N];  
    int* volume = new int[N];  // 动态生成数组
    int f[100][100] = { 0 };   // 初始化数组
    cout << "the worth of goods:" << endl;
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        cin >> worth[i];
    }
    cout << "the volumes of goods:" << endl;
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        cin >> volume[i];
    }
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        for (int j = 0; j <= V; j++) { // 注意等号
            if (j >= volume[i]) {
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - volume[i]] + worth[i]); // 见题解
            }
            else {
                f[i][j] = f[i - 1][j]; // 见题解
            }
        }
    }
    cout << endl << "the max value is: " << f[N][V] << endl; // 输出前N个，最大体积为V时的最大价值数
    return 0;
}

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