[牛客]牛牛的幂运算--复习自用

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来源：牛客网

题目描述

牛牛在做一道数学题，他发现自己不怎么会做，请你帮帮他
求有多少a,b,c,d满足ab = cd， 1<=a,b,c,d<=n, 模 109+7

输入描述:

输入一个整数n (1 ≤ n ≤ 109)

输出描述:

输出一个整数

 

备注:

子任务一30分：n<=10000
子任务二30分：n<=1000000
子任务三40分：n<=1000000000

解题思路

题意就是求有多少组a,b,c,d，使得 。

首先，a可以分解为 ，c可以分解为  ，  就是 k1*b=k2*d。

接下来进行分类讨论：

1、k1=k2时，也就是a=c，这时候需要注意a=c=1时，1的任意次方都等于1；

        1.1   时，b和d都有n种选择，ans=n*n；

        1.2   时，  需要 b=d，a和c有n-1种选择，b和d有n种选择，ans=(n-1)*n

2、k1>k2时，k1此时>=2；此时p的范围： ， 然后去遍历k1和k2，要求gcd(k1,k2)=1。因为  的情况在gcd(k1,k2)=1时候已经出现过了。比如p=2,k1=4,k2=6,此时a=16,c=64,b和d的可能选择有(2,3)、(4,6)……这种情况在p=4,k1=2,k2=3,这种情况的时候已经计算过了，因此我们只需要考虑gcd(k1,k2)=1的情况。

        k1*b=k2*d 的b和d取法有n/k1种：

        举个例子：n=16，k1=3，k2=2时；

k1	*	b	=	k2	*	d
3	*	2	=	2	*	3
3	*	4	=	2	*	6
3	*	8	=	2	*	9
3	*	10	=	2	*	12
3	*	12	=	2	*	15

b和d的取法有5种，5=16/3；

这种情况ans=n/k1；

3、k1k2是对称的，答案和情况2相同。

代码如下

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7;
ll gcd(ll x,ll y)
{
	return y?gcd(y,x%y):x;
}
int main()
{
	ll n,a,b,c,d,k1,k2,ans;
	cin>>n;
	ans=n*n%mod;
	ans=ans+n*(n-1)%mod;
	ll p,sqn=sqrt(n);
	for(p=2;p<=sqn;p++)
	{
		for(k1=1,a=p;a<=n;a*=p,k1++)
		{
			for(k2=1;k2