由浅入深理解差分，循序渐进练习矩阵

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每日算法练习，千锤百炼，静待花开。

Leetcode的专栏会持续更，因为在跟着英雄哥做知识星球的事儿：在lc被欺负的这些年；
对英雄哥的知识星球有兴趣的可以看看他这篇文章喔： 英雄算法联盟 | 31天让你的算法与众不同
但是英雄哥这儿了，五月不再招人啦，有想法的小伙伴浅等六月嗷~
单片机是会持续更的，但是硬件看到人比较少吧，或者我理解它不投策，这个更得慢：十四天学会51单片机；

至于现在这个专栏只会记录全部是每日的算法题：知识星球每天的习题，以及在咱高校算法学习社区中，泡泡和p佬普及组和提高组的题目，一般是当天写当天更吧。现在优先写泡泡的题，p佬的有点小把握不住


好朋友执梗正在带新星计划，有想法的小伙伴不要犹豫嗷
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今天泡泡的题是二维差分，为了使整体的接受度提高，咱们先从一维差分说起吧

第一题小明的彩灯

一维差分

题目描述

题目链接

解题报告

差分使用的模板，先背过吧
a[N][N]为原序列， b[N][N]为a[N][N]的差分

1、构建差分数组 b[i] = a[i] - a[i-1]。结合着逻辑理解记忆
2、左端点为l，右端点为r。差分运算 b[l] += x; b[r+1] -= c;
3、前缀和来统计差分数组 a[i] = a[i-1]+ b[i]


下述是证明——该阐述参考的是博主林小小小鹿的理解，需要的小伙伴可以自行参考嗷

他的文章阐述十分详细，我就结合他的主体思想，加上我自己描述来编纂关于差分的内容了吧。
首先需要积累的是差分是前缀和的逆运算
倘若原序列叫作数组a，此时我们再构造一个数组b，数组a和数组b之间的关系可以这种描述：
a[i] = b[1] + b[2]+ b[3] +,,,,,, + b[i]，也就是i个b数组中的参数可以累加构成当前a数组中参数a[i]的数值。
用林佬的话来说了，a数组是b数组的前缀和数组，反过来我们把b数组叫做a数组的差分数组。，每一个a[i]都是b数组中从头开始的一段区间和。

接下来就是关于差分的作用了。

至于为什么要打这个补丁了，林佬的阐述也是十分到位，就直接薅了

参考代码

#include 

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 5e5 + 10;
LL a[N],b[N];//a数组存放的是运算后的数，b数组存放的是a数组每个数的差分
int n,q;

int main()
{
	scanf("%d %d",&n,&q);
	
	//构建差分数组
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		scanf("%lld",&a[i]);
		b[i] = a[i] - a[i-1];
	}

	//m次询问
	int l,r,x;
	while(q--)
	{
		scanf("%d %d %d",&l,&r,&x);
		b[l] += x;
		b[r+1] -= x;
	}
	
	//用前缀和算一遍加入到差分数组的中的数据
	for(int i = 1; i <= n;i++) a[i] = (LL)(b[i] + a[i-1]);
	
	for(int i = 1; i <= n;i++)
	{
		printf("%lld ",max(a[i],0ll));
	}
	return 0;
}

第二题 P3397 地毯

二维差分

题目描述

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解题报告

二维前缀和板子题
原序列 —— a[i][j]
差分序列 —— b[i][j]
这两个数组之间的关系是这种的：

a[][]数组是b[][]数组的前缀和数组，那么b[][]是a[][]的差分数组。a数组中a[i][j]是b数组左上角(1,1)到右下角(i,j)所包围矩形元素的和

接下来是关于怎么用这个二维差分来帮助咱们实现优化了

至于为什么要用红色字体的代码来处理差分数组，就直接薅了吧，林佬讲得很清楚，我浅补充一下，这个原理是容斥原理。

参考代码(C++版本)

#include

using namespace std;
const int N=1010;
int a[N][N],b[N][N];//a[N][N]为原序列  b[N][N]为a[N][N]的差分
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
	           
    //对差分序列进行处理，也就是一维差分中的构建差分数组
    while(m--)
    {
        int x1,y1,x2,y2,c = 1;
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
        b[x1][y1]+=c;
        b[x2+1][y1]-=c;
        b[x1][y2+1]-=c;
        b[x2+1][y2+1]+=c;
    }
    
    //对差分求前缀和,输出结果 
     for(int i=1;i<=n;i++)
     {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            b[i][j]+=b[i][j-1]+b[i-1][j]-b[i-1][j-1];
            cout< 
 
 
 第三题 1351. 统计有序矩阵中的负数 
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可爱大水题，for + if解决问题
 
 参考代码(C++版本) 
 
class Solution {
public:
    int countNegatives(vector>& grid) {
        int n = grid.size();

        int ans = 0;
        for(int i = 0;i < n;i++)
        {
            int m = grid[i].size();
            for(int j = 0; j < m;j++)
                if(grid[i][j] < 0) ans ++;
        }

        return ans;
    }
};
 
 
 
 第四题 1672. 最富有客户的资产总量 
 题目描述 
 
 
 
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扫描二维数组中每个元素，统计结果，找到最大的结果
 
 参考代码(C++版本) 
 
class Solution {
public:
    int maximumWealth(vector>& accounts) {
        int n = accounts.size();
        
        int ans = -1;

        for(int i = 0; i 
            int m = accounts[i].size();
            int sum = 0;
            for(int j = 0;j < m;j++)
            {
                sum += accounts[i][j];
            }
            ans = max(ans,sum);
        }

        return ans;
    }
};
 
 
 第五题 832. 翻转图像 
 题目描述 
 
 
 
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这个题应该没有什么难点，读题仔细就好，可以抓出了细品的了，是最后的用异或实现0变成1,1变成0吧。
 
 
 参考代码(C++版本) 
 
class Solution {
public:
    vector> flipAndInvertImage(vector>& image) {
        //常规遍历，然后一行一行的翻转就好吧
        int n = image.size();
        int m = image[0].size();

        //水平翻转,利用双指针常规的交换
        for(int i = 0; i < n;i++)
        {
            int l = 0,r = m-1;
            while(l < r)
            {
                int temp = image[i][l];
                image[i][l] = image[i][r];
                image[i][r] = temp;
                l ++;
                r --;
            }
        }

        //翻转：图片中的 0 全部被 1 替换， 1 全部被 0 替换
        for(int i = 0; i < n;i++)
            for(int j = 0; j < m;j++)
                //可以使用x ^ 1
                image[i][j] ^= 1;

        return image;
    }
};
 
 
 
 第六题 1329. 将矩阵按对角线排序 
 题目描述 
 
 
 
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 解题报告 
 
核心是发现该对角线的行坐标 - 列坐标 = 定值。

 利用哈希表将符合条件的信息统计起来，然后推荐使用从大到小排序。因为最后填充数据回矩阵的时候，可以从末尾挨着挨着取。
 
 参考代码(C++版本) 
 
class Solution {
public:
    vector> diagonalSort(vector>& mat) {
        //也是常规模拟吧，数据范围也不大，可以直接暴力
        //该对角线了，i- j 得到数值都是相等，可直接统计
        int n = mat.size();
        int m = mat[0].size();

        unordered_map> mp;
        for(int i = 0; i < n;i++)
            for(int j = 0; j < m;j++)
                mp[i-j].push_back(mat[i][j]);//统计对角线的数值
        
        //将存的数据，从大到小排序，有便于待会取数据
        for(auto &m : mp)//注意是对哈希表的第二个参数进行排序
            sort(m.second.begin(),m.second.end(),greater());
        
        //把这些数据填充回去,从小到大枚举
        for(int i = 0; i < n;i++)
            for(int j = 0; j < m;j++)
            {
                //从小到大枚举，也应该放对角线数组中数值小的数据，也就是哈希表最末尾的数据
                mat[i][j] = mp[i-j].back();
                mp[i-j].pop_back();
            }
        return mat;
    }
};
 
 
 
  总结 
 
① 建议背过一维差分和二维差分的预处理方式，结合着图背会很好背下的，假如忘记了，也没事，收藏下来，偶尔划水的时候点开复习一下就又可以加深记忆了。
 ② 这次矩阵的题都是常规的二维数组，数据范围也不大，直接暴力模拟就可以。模拟注意细节，注意细节。