前缀和(算法)

一维:https://leetcode.cn/problems/range-sum-query-immutable/

二维:https://leetcode.cn/problems/range-sum-query-2d-immutable/

对一维的那个题:一般人的解法:

class NumArray {
    private int[] arr;
    public NumArray(int[] nums) {
        arr=nums;
    }
    
    public int sumRange(int left, int right) {
        int sum=0;
        for(int i=left;i<=right;i++){
            sum+=arr[i];
        }
        return sum;
    }
}

不足之处:由于题设中会多次调用sumRange(),每次调用都会有一个求和的过程,所以一组操作可能伴随着多次的时间复杂度为O(n)的情况,所以我们应当考虑处理一下,把每次调用sumRange()都是一个O(1)的时间复杂度,这里就要使用前缀和的思想.直接看代码,应该就懂了,此处就是把和都给求好了,后续只需做做减法就Ok了

class NumArray {
    int[] preSum;
    public NumArray(int[] nums) {
        preSum=new int[nums.length+1];
        for(int i=1;i<=nums.length;i++){
            preSum[i]=preSum[i-1]+nums[i-1];
        }
    }
    
    public int sumRange(int left, int right) {
        return preSum[right+1]-preSum[left];
    }
}

对二维的题:

同样可以使用前缀和的思想,当然非得在每次sumRange()的时候都两层for循环去求和也没啥问题,但是性能会非常的差,前缀和的图示:

比如我们要求红框里的所有的数字之和,我们就可以用紫色框-黄色框-蓝色框+褐色框得到,之所以要这样,是因为他们都可以基于(0,0)框事先计算出来.

见代码:

class NumMatrix {

    // 定义：preSum[i][j] 记录 matrix 中子矩阵 [0, 0, i-1, j-1] 的元素和
    private int[][] preSum;
    
    public NumMatrix(int[][] matrix) {
        int m = matrix.length, n = matrix[0].length;
        if (m == 0 || n == 0) return;
        // 构造前缀和矩阵
        preSum = new int[m + 1][n + 1];
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                // 计算每个矩阵 [0, 0, i, j] 的元素和
                preSum[i][j] = preSum[i-1][j] + preSum[i][j-1] + matrix[i - 1][j - 1] - preSum[i-1][j-1];
            }
        }
    }
    
    // 计算子矩阵 [x1, y1, x2, y2] 的元素和
    public int sumRegion(int x1, int y1, int x2, int y2) {
        // 目标矩阵之和由四个相邻矩阵运算获得
        return preSum[x2+1][y2+1] - preSum[x1][y2+1] - preSum[x2+1][y1] + preSum[x1][y1];
    }
}

[y2+1] - preSum[x1][y2+1] - preSum[x2+1][y1] + preSum[x1][y1];
}
}