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CF:1445 D. Divide and Sum(思维+组合数学)

C/C++/C# 更新时间: 发布时间: IT归档 最新发布 模块sitemap 名妆网 法律咨询 聚返吧 英语巴士网 伯小乐 网商动力

CF:1445 D. Divide and Sum(思维+组合数学)

题目链接
题意:
的给个2*n长度的数组,将其划分为两个长度为n的数组分别给p和q,要求满足p为不上升序列,q为不下降序列。
定义一个函数 f ( p , q ) = ∑ i = 1 n ∣ x i − y i ∣ f(p,q)=sum_{i=1}^{n}|x_i-y_i| f(p,q)=∑i=1n​∣xi​−yi​∣;
计算所有 f f f的和,并对998244353 去模。

题解:
是个结论题。所2n的数进行排序,得到一个新的序列,记为数组a。
可以发现按照上面的顺序随意取n个数给p,然后剩下的数全给q,就构造出了这样的序列。
然后就是求f的问题。这里就是一个结论了:
对于任意的 f = ∑ i = n + 1 2 ∗ n a [ i ] − ∑ i = 1 n a [ i ] f=sum_{i=n+1}^{2*n}{a[i]}-sum_{i=1}^{n}{a[i]} f=∑i=n+12∗n​a[i]−∑i=1n​a[i]
这个结论可以自己写个样例试着弄一下,就能发现这个结论的正确性。
是因为加了绝对值后,若要把绝对值符号去掉,那就要把大的数减去小的数。
那么对于任意一个 ∣ x i − y i ∣ |x_i-y_i| ∣xi​−yi​∣,若去掉绝对值,一定是 m a x ( x i , y i ) − m i n ( x i , y i ) max(x_i,y_i)-min(x_i,y_i) max(xi​,yi​)−min(xi​,yi​)
那么由于 f ( p , q ) = ∑ i = 1 n ∣ x i − y i ∣ f(p,q)=sum_{i=1}^{n}|x_i-y_i| f(p,q)=∑i=1n​∣xi​−yi​∣绝对值去掉后,一定是所有大的数-所有小的数,那么就是所有最大的n个数,减去最小的n个数。然后这样的数可以取 C ( n 2 n ) Cbinom{n}{2n} C(2nn​)种情况
那么最终答案就是:
C ( n 2 n ) ∗ ( ∑ i = n + 1 2 ∗ n a [ i ] − ∑ i = 1 n a [ i ] ) Cbinom{n}{2n}*(sum_{i=n+1}^{2*n}{a[i]}-sum_{i=1}^{n}{a[i]}) C(2nn​)∗(i=n+1∑2∗n​a[i]−i=1∑n​a[i])

#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=300005;
const int mod=998244353;
int n,m;
int a[maxn];
LL qpow(LL a,LL k){
    LL res=1;
    while(k){
        if(k&1) res=res*a%mod;
        k>>=1;
        a=a*a%mod;
    }
    return res;
}
void solve(){
    cin>>n;m=2*n;
    for(int i=1;i<=2*n;i++) cin>>a[i];
    sort(a+1,a+m+1);
    LL ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)ans=(ans-a[i])%mod;
    for(int i=n+1;i<=m;i++) ans=(ans+a[i])%mod;
    for(int i=n+1;i<=m;i++) ans=ans*i%mod;
    for(int i=1;i<=n;i++) ans=ans*qpow(i,mod-2)%mod;
    ans=(ans%mod+mod)%mod;
    cout<
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