一般比较常见的是3阶和4阶的行列式，3阶行列式可以很方便的直接算出结果，而4阶的行列式却无法运用和3阶行列式类似的公式直接进行计算，必须用降阶法或者其他方法来求解。那么当行列式的阶数是5阶甚至6阶呢？计算的复杂程度无疑是疯狂上涨的，就算真的算出来了，相信这个过程也会让你回味无穷。
为了解救劳苦大众于水深火热之中，笔者特此发布本人用于计算N阶行列式的代码，以方便大众。
声明:以下文章中涉及动态内存分配，为求方便，笔者将用数组这个不那么准确但更好理解的方式代为称呼
以下，为详细讲解：
主要思路是降阶法， 降阶法 ( 按行 或列展开)在此不多赘述，相信百度可以给你一个满意的答案。
头文件: stdio.h 和 stdlib.h
主函数部分:
int main(void)
{
int order;
printf("Please enter determinant order:n");
scanf("%d", &order);
int *D = InputData(order);
int Rslt = Reduction(D, order);
printf("Result:%d", Rslt);
free(D);
return 0;
}
order意为行列式阶数；printf的语句意思为请输入行列式的阶数；函数InputData用于录入行列式的各个元素并返回用于储存数据的数组的首地址；D为指向数组首地址的指针，同时也代表了行列式(D取自英文单词determinant首字母)；Rlst为行列式计算结果；函数Reduction代表用降阶法计算行列式并返回结果，很显然，通篇文章的精华就在这个函数里，笔者也会花费大量篇幅进行讲解。
函数部分:
int *InputData(int order)
{
int Row, Col;
int *D = (int *)malloc(sizeof(int) * order * order);
printf("Please enter the elements of the determinant:n");
for (Row = 0; Row < order; Row++)
for (Col = 0; Col < order; Col++)
scanf("%d", D + Row * order + Col);
return D;
}
int Reduction(int *D, int order)
{
int Rslt = 0;
if(order>3)
{
int Col;
for (Col = 0; Col < order; Col++)//所有传入此函数的行列式都按第一行展开
{
int *Cofactor = (int *)malloc(sizeof(int) * (order - 1) * (order - 1));
int pos = 0;
int row, col;
for (row = 1; row < order; row++)
for (col = 0; col < order; col++)
if(col==Col)
continue;
else
Cofactor[pos++] = D[row * order + col];
int sign = 1;
if((Col+2)%2)
sign = -1;
Rslt += D[Col] * sign * Reduction(Cofactor, order - 1);
free(Cofactor);
}
}
else
{
if(order==3)
Rslt = (D[0] * D[4] * D[8] + D[1] * D[5] * D[6] + D[2] * D[3] * D[7] -
D[2] * D[4] * D[6] - D[1] * D[3] * D[8] - D[0] * D[5] * D[7]);
else if(order==2)
Rslt = D[0] * D[3] - D[1] * D[2];
else
Rslt = D[0];
}
return Rslt;
}
函数InputData很容易实现，在此不过多赘述。(row和col分别代表行和列的意思)
函数Reduction大体分为两部分：
part1：当阶数order小于等于3时（阶数为1或2或3时），直接利用公式导出结果。
part2：当阶数大于3时，反复调用函数Reduction进行降阶处理。具体为：先创建一个n-1阶的余子式数组(Cofactor)，从原行列式中找出属于该余子式的元素并由cofactor储存，然后进行余子式符号(sign)的判定，然后用Rslt加上"元素乘以对应余子式再乘以符号"的值，最后释放掉申请的数组cofactor。由于一个n阶行列式按某行展开后有n个余子式，所以重复以上过程n次，Rslt加了n次数值后，其结果就为行列式的值。
4阶行列式求解过程详解:
首先原行列式如下（申请的内存为n*n，线性的下文中的余子式数组同理）
D0 D1 D2 D3
D4 D5 D6 D7
D8 D9 D10 D11
D12 D13 D14 D15
然后再申请一个(n-1)*(n-1)大小的余子式数组(cofactor),将原行列式中的对应元素赋予它(本文中每个传入reduction函数的行列式都是按第一行展开)
那么D0余子式为：
C0 =D5 , C1 =D6 , C2 =D7 ,
C3 =D9 , C4 =D10, C5 =D11,
C6 =D13, C7 =D14, C8 =D15,
确定符号之后将余子式数组C传进reduction函数中计算结果并返回，然后进一步处理后被rslt加上。
D1,D2,D3的余子式同理，最后的rslt就为行列式值。
大体处理步骤就是将n阶行列式通过reduction函数化为n-1阶行列式,然后n-1阶行列式又通过reduction函数化为n-2阶行列式，然后n-2阶行列式又通过reduction降阶，直到阶数化为3时用公式计算出结果，然后层层返回各阶余子式结果rslt，最后加回到n阶的rslt中得出结果，其实也就是函数递归。
在这里贴一个网站，可以在线免费计算50阶及以下的行列式，网址:在线求行列式的值
您可以比较本文中的程序的计算结果与该网站的计算结果，若有bug欢迎在评论区提出。
再附一个5阶行列式：
5 8 9 4 5
7 8 9 2 1
3 2 1 4 5
8 9 7 5 1
1 2 4 5 7
结果为：972
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