动态规划求解0-1背包问题(Python)

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基本介绍

问题描述

基本原理

解决过程

Python代码

动态规划

绘制图像

基本介绍

问题描述

       有n个物品，它们有各自的体积和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

基本原理

       动态规划与分治法类似，都是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。但不同的是，分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了很多次，而动态规划则具有记忆性，通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间，所以在问题满足最优性原理之后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到。

解决过程

定义参数：Vi 表示第 i 个物品的价值，Wi 表示第 i 个物品的体积，
定义 V(i, j)：当前背包容量 j，前 i 个物品最佳组合对应的价值，同时背包问题抽象化（X1，X2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第 i 个物品选或不选）。

1、建立模型，即求：；

2、寻找约束条件：；

3、寻找递推关系式，面对当前商品有两种可能性：

• 包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前 i-1 个的价值是一样的，即 V(i, j) = V(i-1, j)；
• 还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即 V(i, j) = max｛V(i-1, j)，V(i-1, j-w(i)) + v(i)｝。其中 V(i-1, j)表示不装，V(i-1, j-w(i)) + v(i) 表示装了第 i 个商品，背包容量减少 w(i)，但价值增加了 v(i)；

由此可以得出递推关系式：

4、填表，初始化边界条件，V(0, j) = V(i, 0) = 0；

5、表格填完，即可得到最优解。

Python代码

动态规划

N = 5
C = 10
w = [2, 2, 6, 5, 4]  # 自定义物品重量
v = [6, 3, 5, 4, 6]  # 自定义物品价值
f = [[0 for j in range(C+1)] for i in range(N+1)]
y = [0]
x = range(N*C+1)
for i in range(1, N+1):
    for j in range(1, C+1):
        if j < w[i-1]:
            f[i][j] = f[i-1][j]
        else:
            if f[i-1][j-w[i-1]] + v[i-1] > f[i-1][j]:
                f[i][j] = f[i-1][j-w[i-1]] + v[i-1]
            else:
                f[i][j] = f[i-1][j]
        y.append(f[i][j])

绘制图像

plt.plot(x, y, label="动态规划算法", color="red", line, marker="s", markersize=4)
xlabel = [0]
for x in range(1, N*C+1):
    xlabel.append(x)
plt.xticks(xlabel)
plt.xlabel("迭代次数")
plt.ylabel("最大价值")
plt.title("0-1背包问题的算法分析图")
plt.legend()
# plt.savefig(Path(__file__).name[0:-3]+".pdf")
plt.show()