背包系列问题详解

• 题目
  给你一个可装载重量为 W 的背包和 N 个物品，每个物品有重量和价值两个属性。其中第 i 个物品的重量为 weight[i]，价值为 value[i]，现在让你用这个背包装物品，最多能装的价值是多少？

样例：
N = 3, W = 4
wt = [2, 1, 3]
val = [4, 2, 3]
结果：
6
解释：
选择前两件物品装进背包，总重量 3 小于 W，可以获得最大价值 6。

• Java代码实现模板：

public class Main{
    public static void main(String[] args) {
        //N代表物品的数量，M代表背包的容量
        int N=3,M=4;
        int[] weight={2,1,3};
        int[] value={4,2,3};
        //定义动态规划的数组，dp[i][w]代表前i个物品，当前背包容量为w，这种情况下可以装的最大的价值是dp[i][w]
        int[][] dp = new int[N + 1][M + 1];
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            for (int j = 1; j <= M; j++) {
                if(weight[i-1]>j){  //第i个物品的重量大于容量j，选择不装入
                    dp[i][j]=dp[i-1][j];
                }else{              //在装入和不装入中选择最优的
                    dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i-1]]+value[i-1]);
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[N][M]);
        
        boolean[] isAdd = new boolean[N+1];
        for (int i = N; i>= 1;i--){
            if (dp[i][M] == dp[i-1][M])
                isAdd[i] = false;
            else{
                isAdd[i] = true;
                //最大重量-当前重量...求剩余重量
                M -= weight[i-1];
            }
        }
        for (int i = 1; i <=N; i++) {
            if(isAdd[i])System.out.println("物品序号："+i);
        }
    }
}

• 题目：
  输入一个只包含正整数的非空数组 nums，请你写一个算法，判断这个数组是否可以被分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

输入 nums = [1,5,11,5]，算法返回 true，因为 nums 可以分割成 [1,5,5] 和 [11] 这两个子集。
输入 nums = [1,3,2,5]，算法返回 false，因为 nums 无论如何都不能分割成两个和相等的子集。

• Java代码实现模板

public class Main{
    public static void main(String[] args) {
        int[] nums = new int[]{1,3,2,5};
        int sum=0;
        for (int num : nums) sum += num;
        // 和为奇数时，不可能划分成两个和相等的集合
        if (sum % 2 != 0) {
            System.out.println(false);
            return;
        }
        int n = nums.length;
        sum = sum / 2;
        boolean[][] dp = new boolean[n + 1][sum + 1];
        //初始化，背包没有空间的时候就相当于装满了
        for (int i = 0; i <= n; i++)
            dp[i][0] = true;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= sum; j++) {
                if (j - nums[i - 1] < 0) {
                    // 背包容量不足，不能装入第 i 个物品
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                } else {
                    // 装入或不装入背包
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] || dp[i - 1][j - nums[i - 1]];
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[n][sum]);
    }
}

• 代码优化，二维dp数组变一维

public class Main{
    public static void main(String[] args) {
        int[] nums = new int[]{1,3,7,5};
        int sum = 0;
        for (int num : nums) sum += num;
        // 和为奇数时，不可能划分成两个和相等的集合
        if (sum % 2 != 0) {
            System.out.println(false);
            return ;
        }
        int n = nums.length;
        sum = sum / 2;
        boolean[] dp = new boolean[sum + 1];

        // base case
        dp[0] = true;

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = sum; j >= 0; j--) {
                if (j - nums[i] >= 0) {
                    dp[j] = dp[j] || dp[j - nums[i]];
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[sum]);
    }
}

• 题目
  给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount，写一个函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。
• 样例

输入 amount = 5, coins = [1,2,5]
算法应该返回 4，因为有如下 4 种方式可以凑出目标金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

• Java代码实现

public class Main{
    public static void main(String[] args) {
        int[] coins = new int[]{1,2,5};
        int amount = 5;
        int n = coins.length;
        int[][] dp =new int[n + 1][amount + 1];
        // 初始化，背包容量为0，可以装满
        for (int i = 0; i <= n; i++)
            dp[i][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= amount; j++)
                if (j - coins[i-1] >= 0)
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j]
                            + dp[i][j - coins[i-1]];
                else
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        }
        System.out.println(dp[n][amount]);
    }
}

• 代码优化，二维dp数组变一维

public class Main{
    public static void main(String[] args) {
        int[] coins = new int[]{1,2,5};
        int amount = 5;
        int n = coins.length;
        int[] dp = new int[amount + 1];
        dp[0] = 1; // base case
        for (int i = 0; i < n; i++)
            for (int j = 1; j <= amount; j++)
                if (j - coins[i] >= 0)
                    dp[j] = dp[j] + dp[j-coins[i]];
        System.out.println(dp[amount]);
    }
}