损失函数（交叉熵误差）

神经网络以某个指标为线索寻找最优权重参数。神经网络的学习中所用的指标称为损失函数 （loss function）。这个损失函数可以使用任意函数，但一般用均方误差和交叉熵误差等。

除了均方误差之外，交叉熵误差 （cross entropy error）也经常被用作损失函数。交叉熵误差如下式所示。

这里，log 表示以e为底数的自然对数（log_e ）。y_k是神经网络的输出，t_k 是正确解标签。并且，t_k 中只有正确解标签的索引为 1，其他均为 0（one-hot 表示）。因此，式（4.2）实际上只计算对应正确解标签的输出的自然对数。

自然对数的图像如图 4-3 所示。

如图 4-3 所示，x 等于 1 时，y 为 0；随着 x 向 0 靠近，y 逐渐变小。所以，正确解标签对应的输出越大，式（4.2）的值越接近 0；

当输出为 1 时，交叉熵误差为 0。此外，如果正确解标签对应的输出较小，则式（4.2）的值较大。

import numpy as np


def cross_entropy_error(y, t):
    delta = 1e-7
    return -np.sum(t * np.log(y + delta))


if __name__ == '__main__':
    t = [0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
    y = [0.1, 0.05, 0.6, 0.0, 0.05, 0.1, 0.0, 0.1, 0.0, 0.0]
    print(cross_entropy_error(np.array(y), np.array(t)))
    y = [0.1, 0.05, 0.1, 0.0, 0.05, 0.1, 0.0, 0.6, 0.0, 0.0]
    print(cross_entropy_error(np.array(y), np.array(t)))

运行结果：

0.510825457099338
2.302584092994546

这里，参数 y 和 t 是 NumPy 数组。函数内部在计算 np.log 时，加上了一个微小值 delta 。这是因为，当出现np.log(0) 时，np.log(0) 会变为负无限大的 -inf，这样一来就会导致后续计算无法进行。作为保护性对策，添加一个微小值可以防止负无限大的发生。

正确解标签的索引是“2”，与之对应的神经网络的输出是 0.6，则交叉熵误差是 -log 0.6 = 0.51；若“2”对应的输出是 0.1，则交叉熵误差为 -log 0.1 = 2.30。也就是说，交叉熵误差的值是由正确解标签所对应的输出结果决定的。