【LeetCode Hot100 C++】（5）最长回文子串（动态规划）

给你一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。（中等）

示例 1：

输入：s = "babad"
输出："bab"
解释："aba" 同样是符合题意的答案。
示例 2：

输入：s = "cbbd"
输出："bb"

暴力法

这种方法比较好理解，就是遍历字符串所有的子串，然后看子串是否符合回文，并找出最长的一个就可以了。由于遍历所有子串需要O（），判断回文需要O（n）,总的时间复杂度为O（）。这种方法并不是不好，只是可能在OJ上通不过- -。暴力法虽然时间复杂度高，但内存消耗确挺小的，这就看各自的取舍了。

动态规划

动态规划其实就是把一个大问题，分解成一个个小问题解决的过程，这话说起来还是有点抽象，还是要靠平时多积累。下面看怎么分析这道题的。

动态规划最重要的是找到边界和子问题到下一步的关系。

1、首先看这道题的初始边界，考虑当字符串小于2时，直接返回输入字符串。

2、然后我们考虑如何存储子问题的状态，我们想一想例如4个字符组成的串是否是回文字符串的子问题是什么？答案是求2个、3个字符组成的串是否是回文。在字符串中，我们可以用 i 到 j 表是唯一一个子串。因此，我们选用一个二维数组db[n][n]来保存这些子串的状态（n表示整个字符串长度）。

3、初始条件下，我们设置单个字符都是回文，即db[i][i] = true(i 从 0到 len-1)。

4、然后我们想如果一个字符串是回文，那么在他两头加上相同的字符，那么整个字符串就是回文，否则不是。如果一个字符串不是回文，那么两端怎么加都不是回文。

5、因此我们得到子问题到下一步的关系。

假设字符串string头尾部分i，j，如果 string[i] == string [j]，则判断j - i是否大于2，若不大于则令db[i][j] = true，否则db[i][j] = db[i+1][j-1](右边是左边的一个子串)。上述字符不等，则直接db[i][j] = false。

下面我们以图解方式来看abbab最长字符串.

按上述步骤初始化

 当L为2时，根据上述公式得到下图

我们看子串长度为3，先看两端在看后续，发现两端没有一个等的，更新如图

再看 子串为4，我们发现第一个第四个相等，此时

i = 0,j=3 

再看 j-i = 3 大于2

再看子串i = i + 1,j = j - 1,发现为true，则状态该为true，更新信息

L为5就不演示了

class Solution {
public:
    string longestPalindrome(string s) {
        int len = s.length();
        //边界条件
        if(len < 2){
            return s;
        }
        // db[i][j]用来存储字符串是否是回文
        // i,j表示字符串中i到j的子串
        vector> db(len,vector(len));
        int maxlen = 1;//保存最大子串
        int start = 0;//保存子串开始位置
        for(int k = 0;k < db.size();k++){
            db[k][k] = 1;//初始每个字符都是回文
        }
        for(int L =2;L <= len;L++){//L表示当前取的子串长度,i为左边界
            for(int i = 0;i <= len - L;i++){
                int j = i + L-1;//j为右边界
                if(s[i] != s[j]){
                    db[i][j] = 0;
                }else{
                    if(j - i < 3){
                        db[i][j] = 1;
                    }else{
                        db[i][j] = db[i+1][j-1];
                    }
                    if(j-i+1 > maxlen&&db[i][j] == 1){
                        maxlen = j-i+1;
                        start = i;
                    }
                }
            }
        }
        return s.substr(start,maxlen);
    }
};