什么是符号计算(Symbolic computation)
就是对数学表达式进行解析计算，而不是近似计算。可以简单分为两类：
- 不包含符号的表达式
- 包含符号的表达式
sympy
python中可用sympy库进行符号计算。优点：开源，轻量级。可以做的事情：算数运算，微分，积分，矩阵运算等等。
下面总结常用的应用实例。
小例子In [14]: import sympy as sym
In [15]: import numpy as np
In [16]: sym.sqrt(8)
Out[16]: 2*sqrt(2)
In [17]: np.sqrt(8)
Out[17]: 2.8284271247461903
In [18]: sym.exp(2)
Out[18]: exp(2)
In [19]: np.exp(2)
Out[19]: 7.38905609893065
In [20]: type(sym.sqrt(8))
Out[20]: sympy.core.mul.Mul
In [21]: type(sym.exp(2))
Out[21]: exp
In [32]: a = sym.symbols('a')
In [33]: sym.sqrt(a)
Out[33]: sqrt(a)
注意：
- sympy计算出的是解析解（精确解），numpy计算出的是近似解；
- 该解析解的类型是sympy自定义的类型，用来表示精确解。而我们熟悉的int,float等数据类型，都是近似解。
- 可通过sym.symbols(names)声明符号(变量)，然后可对其进行任意的代数运算，比如加减乘除，平方根，指数等等。
- 在有数学公式渲染的环境中，比如jupyter notebook中，sympy的结果会被MathJax渲染成字母形式。
In [38]: expr = (a+b)**2 In [39]: expr Out[39]: (a + b)**2 In [40]: sym.expand(expr) Out[40]: a**2 + 2*a*b + b**2 In [42]: expr1 = a**2 - 2*a*b + b**2 In [43]: sym.factor(expr1) Out[43]: (a - b)**2
常用方法：
- expand，展开表达式
- factor，合并表达式中的同类项
计算 f ( x ) = a x 2 + b f(x)=ax^2+b f(x)=ax2+b的导数
In [45]: a,b,x = sym.symbols('a b x')
In [46]: f = a*x**2+b
In [52]: sym.diff(f,x) #对x求1阶导数
Out[52]: 2*a*x
In [53]: sym.diff(f,x,2) #对x求2阶导数
Out[53]: 2*a
计算不定积分： ∫ ( a x 2 + b ) d x int (ax^2+b)dx ∫(ax2+b)dx
In [55]: sym.integrate(f,x) #不定积分 Out[55]: a*x**3/3 + b*x
计算定积分： ∫ a b ( a x 2 + b ) d x int_a^b (ax^2+b)dx ∫ab(ax2+b)dx
In [56]: sym.integrate(f,(x,-1,1)) #[-1,1]区间内的定积分 Out[56]: 2*a/3 + 2*b极限
计算 lim x → 0 = s i n ( x ) x lim_{xto0}=frac{sin(x)}{x} limx→0=xsin(x)
In [57]: x = sym.symbols('x')
In [58]: f = sym.sin(x)/x
In [59]: sym.limit(f,x,0)
Out[59]: 1
解方程
解一般方程： x 2 − 2 = 0 x^2-2=0 x2−2=0
In [64]: x = sym.symbols('x')
In [65]: sym.solve(x**2-2, x)
Out[65]: [-sqrt(2), sqrt(2)]
解微分方程： y ′ ′ − y = e x y^{primeprime}-y=e^x y′′−y=ex
In [67]: y = sym.Function('y')
In [71]: equation = sym.Eq(y(x).diff(x,2)-y(x),sym.exp(x))
In [74]: sym.dsolve(equation,y(x))
Out[74]: Eq(y(x), C2*exp(-x) + (C1 + x/2)*exp(x))
notebook中渲染后输出：
矩阵运算 矩阵乘法计算: [ 0 1 1 0 ] ∗ [ 0 − i i 0 ] left[begin{array}{ll}0 & 1 \ 1& 0end{array}right]*left[begin{array}{ll}0 & -i \ i& 0end{array}right] [0110]∗[0i−i0]
In [75]: a = sym.Matrix([[0,1], [1,0]]) In [76]: b = sym.Matrix([[0,-1j], [1j,0]]) In [77]: a*b Out[77]: Matrix([ [1.0*I, 0], [ 0, -1.0*I]])
notebook中渲染后输出：
计算: [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] ∗ [ b 11 b 12 b 21 b 22 ] left[begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \ a_{21}& a_{22}end{array}right]*left[begin{array}{ll}b_{11} & b_{12} \ b_{21}& b_{22}end{array}right] [a11a21a12a22]∗[b11b21b12b22]
In [78]: a_11,a_12,a_21,a_22 = sym.symbols('a_11 a_12 a_21 a_22')
...: b_11,b_12,b_21,b_22 = sym.symbols('b_11 b_12 b_21 b_22')
...:
...: a = sym.Matrix([[a_11,a_12], [a_21,a_22]])
...: b = sym.Matrix([[b_11,b_12], [b_21,b_22]])
...: a*b
Out[78]:
Matrix([
[a_11*b_11 + a_12*b_21, a_11*b_12 + a_12*b_22],
[a_21*b_11 + a_22*b_21, a_21*b_12 + a_22*b_22]])
notebook中渲染输出:
import sympy as sym
from sympy.physics.quantum import TensorProduct
a_11,a_12,a_21,a_22 = sym.symbols('a_11 a_12 a_21 a_22')
b_11,b_12,b_21,b_22 = sym.symbols('b_11 b_12 b_21 b_22')
A = sym.Matrix([[a_11,a_12],[a_21,a_22]])
B = sym.Matrix([[b_11,b_12],[b_21,b_22]])
TensorProduct(A,B)
输出:
[ a 11 b 11 a 11 b 12 a 12 b 11 a 12 b 12 a 11 b 21 a 11 b 22 a 12 b 21 a 12 b 22 a 21 b 11 a 21 b 12 a 22 b 11 a 22 b 12 a 21 b 21 a 21 b 22 a 22 b 21 a 22 b 22 ] displaystyle left[begin{matrix}a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & a_{12} b_{11} & a_{12} b_{12}\a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & a_{12} b_{21} & a_{12} b_{22}\a_{21} b_{11} & a_{21} b_{12} & a_{22} b_{11} & a_{22} b_{12}\a_{21} b_{21} & a_{21} b_{22} & a_{22} b_{21} & a_{22} b_{22}end{matrix}right] ⎣⎢⎢⎡a11b11a11b21a21b11a21b21a11b12a11b22a21b12a21b22a12b11a12b21a22b11a22b21a12b12a12b22a22b12a22b22⎦⎥⎥⎤
