力扣：62. 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？

动态规划

• 确定dp数组及下标含义：dp[i][j]：表示从(0,0)出发，到达(i,j)有dp[i][j]条不同路径；

• 确定递归公式：每一格子都可以从上边的格子到达，或从左边格子达到，递推公式：dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]

• 初始化dp数组：从(0,0)到(i,0)的路径只有一条，所以dp[i][0]一定都是1，dp[0][j]同理

数论方法：

• 在m×n网络中，无论怎么走，走到终点都需要m+n-2步。在这m+n-2步中，一定有m-1步是要向下走的，不用管什么时候向下走。 问题相当于给你m+n-2个不同数，随便取m-1个数，从这个角度分析，这道题就是一个组合问题。

• 这里要注意int溢出，由于 C m + n − 2 m − 1 C^{m-1}_ {m+n-2} Cm+n−2m−1​= C m + n − 2 n − 1 C^{n-1}_ {m+n-2} Cm+n−2n−1​，应该取n和m之中小的来算，还有就是返回值可以定义long long型的。

// 编程软件：VS2019
// 参考书籍：代码随想录
#include
#include
using namespace std;

// 动态规划：时间复杂度O(m×n)，空间复杂度O(m×n)
int uniquePaths1(int m, int n) {
	vector> dp(m, vector(n, 0));
	for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
	for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;
	for (int i = 1; i < m; i++) {
		for (int j = 1; j < n; j++) {
			dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
		}
	}
	return dp[m - 1][n - 1];
}

// 动态规划优化版本：时间复杂度O(m×n)，空间复杂度O(n)
int uniquePaths2(int m, int n) {
	vector dp(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) dp[i] = 1;
	for (int j = 1; j < m; j++) {
		for (int i = 1; i < n; i++) {
			dp[i] += dp[i - 1];
			cout << dp[i] << " ";
		}
		cout << endl;
	}
	return dp[n - 1];
}

// 数论方法：时间复杂度O(m)，空间复杂度O(1)
int uniquePaths3(int m, int n) {
	// 为了避免溢出，取小的数
	int mi = min(m, n);
	long long res = 1;
	for (int i = 1, j = m + n - 2;  i <= mi-1; i++, j--) {
		res = res * j / i;
	}
	return res;
}

int main() {
	cout<