第四单元 用python学习微积分（二十六）积分-部分分式-掩盖法及它的组合应用

本文内容来自于学习麻省理工学院公开课：单变量微积分-部分分式-网易公开课

部分分式方法（Partial Fractions）

= 有理函数（rational function） =两个多项式的比（ ratio of two polynormials）

部分分式方法就是把 拆分成一些可以积分的简单分式

一、掩盖法(Cover Up)

1、方法

当求解 时，显然要把式子拆分

(1) 首先拆分分母 为 ， 考虑把分式变为

(2) 两边同时乘以(x-1)(x+2)

求A:

令x=1

可以直接看作是

相当于遮住了左侧等式中分母中的 (x-1) 和 右侧等式中的B部分，所以称为掩盖法

A = 1

求B:

令x=-2

可以直接看作是

B = 3

2、适用于下面的情况

Q(x)有不同的线性因子同时分子的次数比分母的次数低(degP

3、例子

我计算不好，这边验算下

import numpy as np 
from sympy import *

x= symbols('x')
expr1 = (x**2+3*x+8)/((x-1)*(x-2)*(x+5))
expr2 = (-2/(x-1)) + 18/(7*(x-2))+3/(7*(x+5))
print ('x=5')
print ('expr1=',expr1.subs(x,3))
print ('expr2=',expr2.subs(x,3))

x=5 expr1= 13/8 expr2= 13/8

二、组合的方法1-分子中的分式变量的次数为1（掩盖法加代数方法）

这个式子不适用于掩盖法，因为分子中有相同的分式(x-1)(x-1)

1、方法

(1)拆分

这里为啥要拆分成这种形式？

老师的解释是类似 ,这个我不是很理解

这里B和C是可以使用掩盖法的，因为等式两边同时乘以

可以看到无论x=1或x=2， A都会被消掉，所以A只能使用代数的方法求解

当B和C都已经有值的情况下，随便设个x的值，A都可以求出，所以先计算B和C

(2)求解

令x=0(注意，这里的x不能使用掩盖法已经使用过的值)

三、组合的方法2-分子中的分式变量的次数不为1

1、方法

(1)拆分

用掩盖法求解A

求解B和c无法用掩盖法，老师说除非使用复数计算这里才能使用掩盖法

(2)求解B，C

等式两边乘以分母

这里考虑x的齐次的系数在等式左右两侧要一致

所以首先考虑 的系数，按照原等式列新的等式

考虑常数，也就是 的系数

(3)问题

这里提到如果在分母中有 这种怎么办，老师说这种情况是没有完全因式分解(fully factored)

sympy的函数factor可以做因式分解，但是这个情况并不完全

x= symbols('x')
expr1 =x**3+1
print ('expr1=', expr1.factor())

expr1= (x + 1)*(x**2 - x + 1)

这里( )依旧可以继续处理

多项式形式:

这里设 则有

(4)积分

四、当分式中分子的次数大于分母的次数（degP>degQ）

1、方法

(1) 分母合并因式

(2) 求商和余（按下图操作）

​

商+余/原分母

(3)拆分

检查下：

x= symbols('x')
expr1 = x**3/((x-1)*(x+2))
expr2 = x-1+1/(3*(x-1))+8/(3*(x+2))

print ('expr1=', expr1.subs(x,5))
print ('expr2=', expr2.subs(x,5))

expr1= 125/28

expr2= 125/28