使用Python解决高等数学中极限、导数、偏导数、定积分、不定积分、双重积分等问题
Sympy是一个Python的科学计算库，它旨在成为功能齐全的计算机代数系统。 SymPy 包括从基本符号算术到微积分，代数，离散数学和量子物理学的功能。 它可以在 LaTeX 中显示结果。
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文章目录
- Python解决高等数学问题，妈妈再也不用担心我的学习
- 1. 实用技巧
- 1.1 符号函数
- 1.2 展开表达式expand
- 1.3 泰勒展开公式series
- 1.4 符号展开
- 2. 求极限limit
- 3. 求导diff
- 3.1 一元函数
- 3.2 多元函数
- 4. 积分integrate
- 4.1 定积分
- 4.2 不定积分
- 4.3 双重积分
- 5. 求解方程组solve
- 6. 计算求和式summation
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看到这图，是不是感觉快喘不过气了呢。Python来帮你解决。
from sympy import *import sympy
输入“x= symbols(“x”)”命令定义一个符号
x = Symbol("x")y = Symbol("y")1. 实用技巧
1.1 符号函数
sympy提供了很多数学符号，总结如下
- 虚数单位
sympy.I
- 自然对数
sympy.E
- 无穷大
sympy.oo
- 圆周率
sympy.pi
- 求n次方根
sympy.root(8,3)
- 取对数
sympy.log(1024,2)
- 求阶乘
sympy.factorial(4)
- 三角函数
sympy.sin(sympy.pi)sympy.tan(sympy.pi/4)sympy.cos(sympy.pi/2)
1.2 展开表达式expand
f = (1+x)**3expand(f)
x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 displaystyle x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 x3+3x2+3x +1
1.3 泰勒展开公式series
ln(1+x).series(x,0,4)
x − x 2 2 + x 3 3 + O ( x 4 ) displaystyle x - frac{x^{2}}{2} + frac{x^{3}}{3} + Oleft(x^{4}ight) x−2x2+3x3+O (x4)
sin(x).series(x,0,8)
x − x 3 6 + x 5 120 − x 7 5040 + O ( x 8 ) displaystyle x - frac{x^{3}}{6} + frac{x^{5}}{120} - frac{x^{7}}{5040} + Oleft(x^{8}ight) x−6x3+120x 5−5040x7+O(x8)
cos(x).series(x,0,9)
1 − x 2 2 + x 4 24 − x 6 720 + x 8 40320 + O ( x 9 ) displaystyle 1 - frac{x^{2}}{2} + frac{x^{4}}{24} - frac{x^{6}}{720} + frac{x^{8}}{40320} + Oleft(x^{9}ight) 1− 2x2+24x4−720x6+ 40320x8+O(x9)
(1/(1+x)).series(x,0,5)
1 − x + x 2 − x 3 + x 4 + O ( x 5 ) displaystyle 1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4} + Oleft(x^{5}ight) 1−x+x2−x 3+x4+O(x5)
tan(x).series(x,0,4)
x + x 3 3 + O ( x 4 ) displaystyle x + frac{x^{3}}{3} + Oleft(x^{4}ight) x+3x3+ O(x4)
(1/(1-x)).series(x,0,4)
1 + x + x 2 + x 3 + O ( x 4 ) displaystyle 1 + x + x^{2} + x^{3} + Oleft(x^{4}ight) 1+x+x2+x3+O(x4)
(1/(1+x)).series(x,0,4)
1 − x + x 2 − x 3 + O ( x 4 ) displaystyle 1 - x + x^{2} - x^{3} + Oleft(x^{4}ight) 1−x+x2−x3+O(x4)
1.4 符号展开
a = Symbol("a")b = Symbol("b")#simplify( )普通的化简simplify((x**3 + x**2 - x - 1)/(x**2 + 2*x + 1))#trigsimp( )三角化简trigsimp(sin(x)/cos(x))#powsimp( )指数化简powsimp(x**a*x**b)x a + b displaystyle x^{a + b} x a+b
2. 求极限limit
limit(sin(x)/x,x,0)
1 displaystyle 1 1
f2=(1+x)**(1/x)
f2
( x + 1 ) 1 x displaystyle left(x + 1ight)^{frac{1}{x}} (x+1)x1
重要极限
f1=sin(x)/x f2=(1+x)**(1/x)f3=(1+1/x)**x lim1=limit(f1,x,0)lim2=limit(f2,x,0)lim3=limit(f3,x,oo)print(lim1,lim2,lim3)
1 E E
dir可以表示极限的趋近方向
f4 = (1+exp(1/x))f4
e 1 x + 1 displaystyle e^{frac{1}{x}} + 1 e x1+1
lim4 = limit(f4,x,0,dir="-")lim4
1 displaystyle 1 1
lim5 = limit(f4,x,0,dir="+")lim5
∞ displaystyle infty ∞
3. 求导diff
diff(函数,自变量,求导次数)
3.1 一元函数
求导问题
diff(sin(2*x),x)
2 cos ( 2 x ) displaystyle 2 cos{left(2 x ight)} 2cos(2x)
diff(ln(x),x)
1 x displaystyle frac{1}{x} x1
3.2 多元函数
求偏导问题
diff(sin(x*y),x,y)
− x y sin ( x y ) + cos ( x y ) displaystyle - x y sin{left(x y ight)} + cos{left(x y ight)} −xysin(xy)+cos(xy)
4. 积分integrate
4.1 定积分
- 函数的定积分: integrate(函数，(变量，下限，上限))
- 函数的不定积分: integrate(函数,变量)
f = x**2 + 1integrate(f,(x,-1.1))
− 1.54366666666667 displaystyle -1.54366666666667 −1.54366666666667
integrate(exp(x),(x,-oo,0))
1 displaystyle 1 1
4.2 不定积分
f = 1/(1+x*x)integrate(f,x)
atan ( x ) displaystyle operatorname{atan}{left(x ight)} atan(x)
4.3 双重积分
f = (4/3)*x + 2*y integrate(f,(x,0,1),(y,-3,4))
11.6666666666667 displaystyle 11.6666666666667 11.666666 6666667
5. 求解方程组solve
#解方程组#定义变量f1=x+y-3f2=x-y+5solve([f1,f2],[x,y])
{x: -1, y: 4}
6. 计算求和式summation
计算求和式可以使用sympy.summation函数，其函数原型为sympy.summation(f, *symbols, **kwargs)
**
sympy.summation(2 * n,(n,1,100))
10100
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