leetcode刷题笔记 509、斐波那契数（Java语言实现）

接下来大概都是动态规划的题。这道题是非常经典的dp入门题，从它开始慢慢找动规的感觉吧。

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

给定 n ，请计算 F(n) 。

1、解题思路 **
题中已给出递归公式f(n)=f(n-1)+f(n-2)，添加“备忘录helper”进行剪枝**
2、代码实现

class Solution {
    public int fib(int n) {
        int[] memo = new int[n + 1];
        return helper(memo, n);
    }

    public int helper(int[] memo, int n) {
        if (n == 0 || n == 1) {
            return n;
        }
        if (memo[n] != 0) {
            // 查询备忘录
            return memo[n];
        }
        // 添加备忘录
        memo[n] = helper(memo, n - 1) + helper(memo, n - 2);
        return memo[n];
    }
}

1、解题思路
斐波那契数的边界条件是 F(0)=0F(0)=0 和 F(1)=1F(1)=1。当 n>1n>1 时，每一项的和都等于前两项的和，因此有如下递推关系：

F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(n)=F(n−1)+F(n−2)

由于斐波那契数存在递推关系，因此可以使用动态规划求解。动态规划的状态转移方程即为上述递推关系，边界条件为 F(0)F(0) 和 F(1)F(1)。
根据状态转移方程和边界条件，可以得到时间复杂度和空间复杂度都是 O(n)O(n) 的实现。由于 F(n)F(n) 只和 F(n-1)F(n−1) 与 F(n-2)F(n−2) 有关，因此可以使用「滚动数组思想」把空间复杂度优化成 O(1)O(1)。
2、代码实现

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if (n < 2) {
            return n;
        }
        int p = 0, q = 0, r = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            p = q; 
            q = r; 
            r = p + q;
        }
        return r;
    }
}

动态规划在本题中是一种递推的形式，每一个状态都是由先前状态所确定的，结果自底向上递推获得。确定这种递推结构（即状态转移方程）是解决这类问题的核心。

递归恰恰相反，确定了顶部后，自顶向下进行拆分，这种拆分可能会有相同的递归枝造成重复计算，
导致浪费算力的情况发生。通过引入备忘录数组进行进行检验，对算法进行优化。