【Leetcode】剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题

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 题目描述 解题方法

 递归法 动态规划法 快速幂运算法

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。
答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：
输入：n = 2
输出：2
示例 2：
输入：n = 7
输出：21
示例 3：
输入：n = 0
输出：1
提示：0 <= n <= 100

这道题目的本质就是求Fibonacci序列，与【Leetcode】剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列_easy but hard无异。

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) return n; 
        return (fib(n - 1) + fib(n - 2)) % 1000000007;  //注意题目要求
    }
};

递归法会超出时间限制要求，因此不可行。

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) return n; 
        int rear = 0, front = 1, temp = 0;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            temp = front;
            front = (rear + front) % 1000000007;  //注意题目要求
            rear = temp;
        }
        return front;
    }
};

下面这张动图源自Leetcode


时间复杂度O(N)；
空间复杂度O(1)。

这个方法需要用到矩阵的快速幂运算

设M如下

只需要算出M即可算出F(n)。因此这道题变成了：如何快速进行幂运算。

先不考虑矩阵的幂运算，对于常数，假设X=3，那么X⁹简单来说应该弄个循环体求个【9次】

int X = 3, result = 1;
for (int i = 1; i <= 8; ++i) {  //一共需要运算9次
	result *= X;
}

需要注意到的是，第一次运算时，产生了X²，可以直接使用，得到(X²)²=X⁴；这个结果也可以直接使用，因此第三次运算时产生了X⁸，以此类推其它项。因此有

于是我们只需要进行【4次】循环就可以得到运算结果。

可知时间复杂度从O(N)降低为O(log₂N)，即O(logN)。

对矩阵幂运算同理，只需要将X换成矩阵即可。具体程序如下

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) return n; 
        vector> matrix_m = {{1, 1}, {1, 0}};  //用long类型的原因可以在子函数matrix_multiply中看到
        vector> matrix_mn = matrix_pow(matrix_m, n - 1);
        return matrix_mn[0][0];  //return matrix_mn[0][0] * f(1) + matrix_mn[0][1] * f(0)
    }

    //matrix_pow函数：2×2矩阵的幂运算操作
    vector> matrix_pow(vector> &vvec, int n) {  //采用传引用可以降低复制开销
        vector> result = {{1, 0}, {0, 1}}, temp = vvec;  //后面涉及累乘，result初始化为单位阵
        while (n != 0) {
            if (n & 1) result = matrix_multiply(result, temp);  //n & 1为二进制按位与，即n的二进制形式和0000 0001进行与操作
            temp = matrix_multiply(temp, temp);  //这里循环生成2次方，4次方，8次方, …………
            n >>= 1;  //右移一位
        }
        return result;
    }

    //matrix_multiply函数：2×2矩阵的相乘运算操作
    vector> matrix_multiply(vector> &x, vector> &y) {
        vector> result = {{0, 0}, {0, 0}};  //一开始这里没有初始化，下面进行索引就会报reference binding to null pointer of type
        for (int i = 0; i < 2; ++i) {
            for (int j = 0; j < 2; ++j) {
                result[i][j] = (x[i][0] * y[0][j] + x[i][1] * y[1][j]) % 1000000007;  //这里就是用long的原因，括号内的运算会超出int的范围(int占4个字节32位，2^32的值不超过43亿)
            }
        }
        return result;
    }
};

子函数matrix_multiply里忘记对result进行初始化报reference binding to null pointer of type，见【runtime error: reference binding to null pointer of type ‘int‘ (stl_vector.h)的报错】

时间复杂度O(logN)；
空间复杂度O(1)。

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