python 皮尔森相关系数（Pearson）

文章目录

一、概述二、定义

2.1 总体样本定义2.2 估算样本定义2.3 两种计算方式2.4 皮尔森距离 三、python 实现

3.1 生成随机数据集3.2 绘制散点图3.3 计算相关系数

3.3.1 自定义函数（无显著性检验）3.3.2 python 函数

（1）pandas.corr 函数（无显著性检验）（2）scipy.stats.pearsonr 函数 （有显著性检验）（3）pandas.corr 加 scipy.stats.pearsonr 获取相关系数检验P值矩阵

一、概述

皮尔森相关系数也称皮尔森积矩相关系数(Pearson product-moment correlation coefficient) ，是一种线性相关系数，是最常用的一种相关系数。记为r，用来反映两个变量X和Y的线性相关程度，r 值介于-1到1之间，绝对值越大表明相关性越强。适用连续变量。相关系数与相关程度一般划分为
   0.8 - 1.0 极强相关
   0.6 - 0.8 强相关
   0.4 - 0.6 中等程度相关
   0.2 - 0.4 弱相关
   0.0 - 0.2 极弱相关或无相关 二、定义 2.1 总体样本定义

ρ X , Y = c o v ( X , Y ) σ X σ Y = E ( X − μ X ) E ( Y − μ Y ) σ X σ Y begin{aligned} rho_{X,Y} = frac {cov(X,Y)} {sigma_{X} sigma_{Y}} = frac {E(X-mu_{X}) E(Y-mu_{Y})} {sigma_{X} sigma_{Y}} end{aligned} ρX,Y​=σX​σY​cov(X,Y)​=σX​σY​E(X−μX​)E(Y−μY​)​​
其中， σ X = E { [ X − E ( X ) ] 2 } , σ Y = E { [ Y − E ( Y ) ] 2 } sigma_{X} = sqrt{E{[X - E(X)]^{2}}},sigma_{Y} = sqrt{E{[Y - E(Y)]^{2}}} σX​=E{[X−E(X)]2} ​,σY​=E{[Y−E(Y)]2} ​

2.2 估算样本定义

估算样本的协方差和标准差，可得到样本相关系数（即样本皮尔森相关系数），常用 r 表示：
r = ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) ( Y i − Y ‾ ) ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 ∑ i = 1 n ( Y i − Y ‾ ) 2 begin{aligned} r = frac { displaystyle sum_{i=1}^{n} (X_{i} - overline{X}) (Y_{i} - overline{Y}) } { sqrt{ displaystyle sum_{i=1}^{n} (X_{i} - overline{X})^{2} } sqrt{ displaystyle sum_{i=1}^{n} (Y_{i} - overline{Y})^{2} } } end{aligned} r=i=1∑n​(Xi​−X)2 ​i=1∑n​(Yi​−Y)2 ​i=1∑n​(Xi​−X)(Yi​−Y)​​

还可以由(Xi,Yi)样本点的标准分数均值估计得到与上式等价的表达式
r = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ σ X ) ( Y i − Y ‾ σ Y ) begin{aligned} r = frac{1}{n-1} sum_{i=1}^{n}{ (frac {X_{i} - overline{X}} {sigma_{X}} ) (frac {Y_{i} - overline{Y}} {sigma_{Y}} ) } end{aligned} r=n−11​i=1∑n​(σX​Xi​−X​)(σY​Yi​−Y​)​
其中， X i − X ‾ σ X frac {X_{i} - overline{X}} {sigma_{X}} σX​Xi​−X​ 是样本X的标准分数。

2.3 两种计算方式

(1)
ρ X , Y = c o v ( X , Y ) σ X σ Y = E ( X − μ X ) E ( Y − μ Y ) σ X σ Y = E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y ) E ( X 2 ) − E 2 ( X ) E ( Y 2 ) − E 2 ( Y ) begin{aligned} rho_{X,Y} = frac {cov(X,Y)} {sigma_{X} sigma_{Y}} = frac {E(X-mu_{X}) E(Y-mu_{Y})} {sigma_{X} sigma_{Y}} = frac {E(XY) - E(X)E(Y)} { sqrt{E(X^2) - E^{2}(X)} sqrt{E(Y^2) - E^{2}(Y)} } end{aligned} ρX,Y​=σX​σY​cov(X,Y)​=σX​σY​E(X−μX​)E(Y−μY​)​=E(X2)−E2(X) ​E(Y2)−E2(Y) ​E(XY)−E(X)E(Y)​​

(2)
ρ X , Y = n ∑ X Y − ∑ X ∑ Y n ∑ X 2 − ( ∑ X ) 2 n ∑ Y 2 − ( ∑ Y ) 2 begin{aligned} rho_{X,Y} = frac {n sum{XY} - sum{X}sum{Y}} { sqrt{n sum{X^{2}} - (sum{X})^{2}} sqrt{n sum{Y^{2}} - (sum{Y})^{2}} } end{aligned} ρX,Y​=n∑X2−(∑X)2 ​n∑Y2−(∑Y)2 ​n∑XY−∑X∑Y​​

2.4 皮尔森距离

d X , Y = 1 − ρ X , Y d_{X,Y} = 1 - rho_{X,Y} dX,Y​=1−ρX,Y​

三、python 实现 3.1 生成随机数据集

import random
import pandas as pd

n = 10000
X = [random.normalvariate(100, 10) for i in range(n)] # 随机生成服从均值100，标准差10的正态分布序列
Y = [random.normalvariate(100, 10) for i in range(n)] # 随机生成服从均值100，标准差10的正态分布序列
Z = [i*j for i,j in zip(X,Y)]
df = pd.Dataframe({"X":X,"Y":Y,"Z":Z})

3.2 绘制散点图

import matplotlib.pyplot as plt 

# 绘制散点图矩阵
pd.plotting.scatter_matrix(df)
plt.show()

3.3 计算相关系数 3.3.1 自定义函数（无显著性检验）

import math

def PearsonFirst(X,Y):
    '''
        公式一
    '''
    XY = X*Y
    EX = X.mean()
    EY = Y.mean()
    EX2 = (X**2).mean()
    EY2 = (Y**2).mean()
    EXY = XY.mean()
    numerator = EXY - EX*EY                                 # 分子
    denominator = math.sqrt(EX2-EX**2)*math.sqrt(EY2-EY**2) # 分母
    
    if denominator == 0:
        return 'NaN'
    rhoXY = numerator/denominator
    return rhoXY

def PearsonSecond(X,Y):
    '''
        公式二
    '''
    XY = X*Y
    X2 = X**2
    Y2 = Y**2
    n = len(XY)
    numerator = n*XY.sum() - X.sum()*Y.sum()                                            # 分子
    denominator = math.sqrt(n*X2.sum() - X.sum()**2)*math.sqrt(n*Y2.sum() - Y.sum()**2) # 分母
    
    if denominator == 0:
        return 'NaN'
    rhoXY = numerator/denominator
    return rhoXY 
    
r1 = PearsonFirst(df['X'],df['Z'])  # 使用公式一计算X与Z的相关系数
r2 = PearsonSecond(df['X'],df['Z']) # 使用公式二计算X与Z的相关系数
print("r1: ",r1)
print("r2: ",r2)

3.3.2 python 函数 （1）pandas.corr 函数（无显著性检验）

参数解析
Dataframe.corr(
  method = ‘pearson’, # 可选值为{‘pearson’:‘皮尔森’, ‘kendall’:‘肯德尔秩相关’, ‘spearman’:‘斯皮尔曼’}
  min_periods=1    # 样本最少的数据量
)

df.corr(method="pearson")

（2）scipy.stats.pearsonr 函数 （有显著性检验）

from scipy.stats import pearsonr

r = pearsonr(df['X'],df['Z'])
print("pearson系数：",r[0])
print("   P-Value：",r[1])

（3）pandas.corr 加 scipy.stats.pearsonr 获取相关系数检验P值矩阵

def GetPvalue_Pearson(x,y):
    return pearsonr(x,y)[1]

df.corr(method=GetPvalue_Pearson)

参考：pandas.Dataframe.corr参考：皮尔森相关系数(Pearson correlation coefficient)参考：scipy.stats.pearson